第09讲 直线与圆的位置关系（4大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 直线与圆的位置关系（4大考点） ( 考点 考向 ) 一、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系是： 在圆内⇔， 在圆上⇔， 在圆外⇔. 二、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 【微点拨】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解． 三、轨迹和轨迹方程 1．轨迹和轨迹方程的定义 平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程. 2．求轨迹方程的五个步骤 ①建系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标； ②设点：写出适合条件的点的集合； ③列式：用坐标表示条件，列出方程； ④化简：化方程为最简形式； ⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 四、 直线与圆的位置关系及判断 1．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 1 d>r⇔圆与直线相离； 2 d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 五、弦长问题 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). 几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题． 六、直线与圆相切 直线与圆相切的相关性质： （1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 七、直线和圆的方程的应用 直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 【微点拨】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成几何结论. ( 技巧 方法 ) 1.判定直线与圆位置关系的常用方法： （1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断． （3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定． 2.涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种： （1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． （2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标， 若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解； 若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长． 3.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何方法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数方法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 4.利用直线与圆的位置关系求最值或范围问题 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法