第08讲 圆的方程（3大考点九种解题方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 圆的方程（3大考点九种解题方法） ( 考点 考向 ) 一、圆的标准方程 基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 标准 方程 圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 图示 说明 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 二、圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ①，①式两边平方，得. 三、点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 【微点拨】判断点与圆的位置关系主要是根据点到圆心的距离与半径做比较. 四、圆的一般方程 1．圆的一般方程的定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 2．圆的一般方程的推导 把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得.取， 得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 【微点拨】判断圆存在的相关条件时需将圆的方程转化为一般式. 五、轨迹和轨迹方程 1．轨迹和轨迹方程的定义 平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程. 2．求轨迹方程的五个步骤 ①建系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标； ②设点：写出适合条件的点的集合； ③列式：用坐标表示条件，列出方程； ④化简：化方程为最简形式； ⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． ( 技巧 方法 ) 1.求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 2.点与圆的位置关系的判断方法： （1）几何法：利用圆心到该点的距离与圆的半径比较； （2）代数法：直接利用下面的不等式判定： ①，点在圆外； ②，点在圆上； ③，点在圆内． 3.判断二元二次方程是否表示圆的方法： （1）利用圆的一般方程的定义，求出利用其符号判断． （2）将方程配方化为的形式，根据的符号判断． 4.应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下： 5.求与圆有关的轨迹方程的常用方法： （1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下： （2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程． （3）相关点法：若动点随着圆上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入已知圆的方程，即得动点的轨迹方程． ( 考点 精讲 ) 考点一：圆的标准方程 题型一：由圆心（或半径）求圆的标准方程 一、单选题 1．（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接写出标准方程，即可得到答案. 【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为. 故选：B 2．（2022·全国·高二）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可. 【详解】圆C：的圆心，半径． 设点关于直线的对称点为， 则， 所以圆C关于直线的对称圆的方程为， 故选:C． 二、多选题 3．（2022·江苏·高二单元测试）以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（       ） A．圆心的坐标为（2，2） B．圆心的坐标为（2，-2） C．圆心的坐标为（-2，2） D．圆的方程是 E．圆的方程是 【答案】BE 【分析】根据AB的中点坐标为圆心，为半径，即可求解结果． 【详解】AB的中点坐标为，则圆心的坐标为 又，则圆的半径为 所以圆的方程是 故选：BE 4．（2021·江苏·星海实验中学高二阶段练习）过点与且半径为2的圆的方程可以为（       ） A． B．