第1章 第5讲 基本不等式（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第5讲　基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考向预测：主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件． 核心素养：数学运算和逻辑推理. [知识梳理] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时，等号成立． (3)其中　　称为正数a，b的算术平均值，　　称为正数a，b的几何平均值． [注意] 应用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出错． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则有以下结论： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，x＋y有最小值是　2　(简记：积定和最小)； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当__x＝y__时，xy有最大值是　　(简记：和定积最大)． [注意] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致． 常用结论　 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤2成立的条件是ab>0.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(2022·江西九江月考)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案　C 解析 　xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C项． 3．(2022·云南大理测试)若x<0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 答案　D 解析 　因为x<0，所以－x>0，则－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.故选D项． 4．(2022·贵州安顺训练)若x＞1，则x＋的最小值为________________. 解析 x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． 答案　5 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2. 解析 设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤2＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25 m2. 答案　25 考点一　利用基本不等式求最值…………多维探究 角度1　通过拼凑法求最值 【例1】 (1)(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________________. (2)(2021·1月上海)已知函数f(x)＝3x＋(a>0)的最小值为5，则a＝________. 解析 (1)依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时，等号成立．因此＋＋的最小值为4. (2)f(x)＝3x＋＝3x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时，等号成立，解得a＝9，经检验，a＝9符合题意． 答案　(1)4　(2)9 解题技巧　 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度2　通过常数代换法求最值 【例2】 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则·的最小值为____________. 解析 ＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 答案　9 【迁移探究】 (1)(变设问)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________________. (2)(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0,4a＋b＝4，则的最小值为________________. 解析 (1)因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时，等号成立． (2)由4a＋b＝4可以得到a＋＝1，则＝＝＝＋＋＋≥＋2＝＋，当且仅当4a＝b时，等号成立．