第1章 第4讲 不等关系与不等式（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第4讲　不等关系与不等式 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用. 考向预测：利用不等式的性质解题，多以小题出现，题目难度不大． 核心素养：逻辑推理. [知识梳理] 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b__＜__a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a__＞__c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac__＞__bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac__＞__bd. (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n≥1)． (6)可开方性：a＞b＞0⇒__＞__(n∈N，n≥2)． [注意] (1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，ac2＝bc2)． 常用结论　 (1)倒数性质：①a>b，ab>0⇒<；②a<0<b⇒<；③a>b>0，d>c>0⇒>. (2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①<，>(b－m>0)；②>；<(b－m>0)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)若>1，则a>b.(　　) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　) (6)ab>0，a>b⇔<.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√ 2．(2022·河北唐山月考)下列结论不正确的是(　　) A．若a>b，c>0，则ac>bc B．若a>b，c>0，则> C．若a>b，则a＋c>b＋c D．若a>b，则a－c>b－c 答案　B 解析 　A项满足不等式基本性质的可乘性，正确；B项，若a>b，c>0，则与的大小关系不确定，错误；C，D项，满足不等式基本性质的可加性，正确．故选B项． 3．(2022·广西南宁训练)已知a＝1，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 答案　A 解析 　由－＝，－＝，而＋<＋，所以b>c，又b<1，c<1，所以a>b>c.故选A项． 4．(2022·甘肃白银月考)若－<α<β<，则α－β的取值范围是______________. 解析 由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.故α－β的取值范围是(－π，0)． 答案　(－π，0) 5．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”不正确的一组整数a，b，c的值依次为______________. 解析 因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2c<c.不妨令a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c，所以a＋b>c不一定正确． 答案　－1，－2，－3(答案不唯一) 考点一　比较两个数(式)的大小…………自主练透 1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 答案　B 解析 　由题意得B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.故选B项． 2．(2022·宁夏银川月考)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 答案　B 解析 　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)·(a2－1)，又因为a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.故选B项． 3．(2022·广西北海测试)若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 答案　B 解析 　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以 a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c，所以c<b<a.故选B项． 解题技巧　 比较两个数(式)大小的两种方法 (1)作差法