第1章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 1.理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 考向预测：判断命题的真假；以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件；求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等． 核心素养：数学抽象、逻辑推理. [知识梳理] 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有__相同__的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__没有关系__. 3．充分条件与必要条件 (1)若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件． (2)若p⇒q，且，则p是q的__充分不必要__条件． (3)若，且q⇒p，则p是q的__必要不充分__条件． (4)若p⇔q，则p是q的__充要__条件． (5)若，且，则p是q的__既不充分也不必要__条件． (6)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的__充分不必要__条件． 4．用充分条件、必要条件判断集合关系 以p：x∈A，q：x∈B的形式出现． (1)若p是q的充分条件，则A__⊆__B. (2)若p是q的必要条件，则B__⊆__A. (3)若p是q的充分不必要条件，则A____B. (4)若p是q的必要不充分条件，则B____A. (5)若p是q的充要条件，则A__＝__B. (6)若p是q的既不充分也不必要条件，则A____B且B____A. [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)语句x2－3x＋2＝0是命题．(　　) (2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假性没有关系．(　　) (3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．(　　) (4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是 q”表达的意义相同．(　　) (5)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　) (6)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× (6)√ 2．(2022·江西南昌练习)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(　　) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b C．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c 答案　A 解析 　命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A项． 3．(2022·广西百色训练)设集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析 　由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A得A⊆B.因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件．故选C项． 4．A，B，C三个学生参加了一次考试，已知命题p为“若及格分高于70分，则A，B，C都没有及格”，则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　) A．若及格分不高于70分，则A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，则及格分不高于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不高于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分 答案　C 解析 　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，p的逆否命题是“若A，B，C至少有一人及格，则及格分不高于70分”．故选C项． 5．命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝，则p是q的________条件． 解析 当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝不成立，即；当x＝时，x≥0,3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． 答案　必要不充分 考点一　四种命题的相互关系及真假判断…………自主练透 1．下列命题是真命题的是(　　) A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2 答案　A 解析 对于A项，因为＝，所以x＝y，A项正确；对于B项，当x＝－1时，x2＝1，B项错误；对于C项，若x＜0或y＜0，则x，y不能开平方，C项错误；对于D项，当x＝－2，y＝－1时，x<y，但x2＝4＞y2＝1，D项错误．故选A项． 2．已知命题p：若x＜－3，则x2－2