6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.1.4 数乘向量 第六章 6.1.5 向量的线性运算 1.掌握数乘向量的定义运算及其几何意义. 2.理解两个向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 核心素养:数学抽象、数学运算 学习目标 高中数学 必修第二册 RJ·B 一、数乘向量的定义 我们已经知道,多个向量相加,结果是一个向量. 特别地,给定一个向量,3个相加的结果,是一个模为3||、方向与相同的向量,如下图所示,通常这个向量简记为3,即; 新知学习 高中数学 必修第二册 RJ·B 3 3个相加()+()+()的结果,是一个模为3||、方向与相反的向量,如下图所示,通常这个向量简记为,即. 思考 你能根据上述实例,给出实数与任意一个向量的乘积的定义吗? 高中数学 必修第二册 RJ·B 一般地,给定一个实数λ与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量,记作,其中: (1)当≠0且≠时,的模为||||,而且的方向如下: ①当0时,与的方向相同; ②当0时,与的方向相反. (2)当0或=时,=. 上述实数λ与向量相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出,数乘向量的结果是一个向量,而且这个向量与原来的向量共线(平行),即∥;数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即 高中数学 必修第二册 RJ·B 怎样理解数乘向量? 可从两个角度看数乘向量: (1)代数角度:①λ是实数,是向量,它们的积仍是向量;②的条件是或. (2)几何角度:当时,表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上伸长为原来的倍;当时,表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上缩短为原来的. 高中数学 必修第二册 RJ·B 二、两向量共线的条件 数乘向量的定义说明,如果存在实数,使得,则∥. 【说明】当均为非零向量时,要判断共线,只需找到实数λ,使得即可. 高中数学 必修第二册 RJ·B 利用数乘向量,可以方便地研究三点共线的情形.例如,当=时,三点一定共线,而且点B为线段的中点;当=2时,三点共线,而且为线段的一个三等分点,如图所示. 一般地,如果存在实数,使得=,则与平行且有公共点,从而三点一定共线. 高中数学 必修第二册 RJ·B 三、向量数乘的运算律 根据实数与向量的积的定义,可以验证下面的运算律. 设为实数,那么       (1);