1.5 全称量词与存在量词-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 思维导图 新课标要求 1.全称量词与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 ①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。 ②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 知识梳理 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”． 2.全称命题：，，它的否定：，。全称命题的否定是特称命题。 特称命题：，，它的否定：，。特称命题的否定是全称命题。 名师导学 知识点1 全称命题、特称命题的判断 1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 2.判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假． (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可． 【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】B 【解析】 解：对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题； 对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题； 对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题； 对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题. 故选：B. 【例1-2】（2021·江苏·高一课时练习）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断真假． （1）实数都能写成小数形式； （2）存在实数m，n，使m－n＝1. 【解】（1）∀x∈R， x能写成小数形式．因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题． （2）∃m， n∈R，m－n＝1.当m＝2， n＝1时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题． 【变式训练1-1】（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高一阶段练习）下列命题为存在量词命题的是（       ） A．某些二次函数的图象与轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 【答案】AD 【解析】 由题意，选项A，D中研究的是部分二次函数和实数的性质； 选项B，C中研究的是全部正方体和不平行的两条直线的性质 根据全称量词和存在量词的定义，可知AD为存在量词命题 故选：AD 【变式训练1-2】（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． （1）有的质数是偶数； （2）所有的质数都是奇数； （3）负数的平方是正数； （4）每一个多边形的外角和都是360°. 【解】（1）“有的”是存在量词，故命题为存在量词命题； （2）“所有的”是全称量词，故命题为全称量词命题； （3）题中指“所有的”负数，故命题为全称量词命题； （4）“每一个”是全称量词，故命题为全称量词命题. 故答案为：（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题. 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 【例2-1】（2022·江苏南通·高一期末）命题“，”的否定是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】 因为用存在量词否定全称命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 【例2-2】（2022·浙江浙江·高一期中），的否定是___________． 【答案】， 【解析】 解：因为，是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故答案为：，. 【变式训练2-1】（2022·安徽阜阳·高一期中）命题“，都有”的否