1.4 充分条件与必要条件-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 思维导图 新课标要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 知识梳理 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 名师导学 知识点1 充分、必要、充要条件的判断（重点） 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【例1-1】（2022·浙江浙江·高一期中）已知命题p：“”，命题q：“”．则p是q的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 命题p：令，可得，即，故或，解得或， 故p是q的必要不充分条件 故选：B 【例1-2】（2022·上海金山·高一期末）若A、B均为集合，则“AB”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 当A B时，有成立； 当时，有成立，即不能得到A B 故AB”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练1-1】（2022·湖南邵阳·高一期末）“”是“”的（       ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 由可推出，由，即或，推不出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式训练1-2】（2021·湖南·金海学校高一期中）“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件； 求解，得到，故“”是“”的不必要条件； 故选：A 【变式训练1-3】(多选)（2022·湖南·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（       ） A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【解析】 A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意； B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意； C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意， 故选：BCD 【变式训练1-4】（2022·湖南·高一课时练习）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的______； （2）“，”是“”的______； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的______； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的______． 【答案】     充要条件     既不充分又不必要条件     充分而不必要条件     必要而不充分条件 【解析】 解：（1）若，则，则充分性成立， 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件； （2）当，则，所以充分性不成立， 当，则， 即推不出，，则必要性不成立， 所以“，”是“”的既不充分又不必要条件； （3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立， 当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立， 所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件； （4）若，当时，方程有无数个根， 则是方程的一个根不成立，则充分性不成立， 当是方程的一个根时，则有，则必要性成立， 所以“”是“是方程的一个根”的必要而不充分条件. 故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）必要而不充分条件. 知识点2 充分、必要、充要条件的应用（重难点） 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将