2.1.2两条直线平行和垂直的判定 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课程标准 核心素养 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 数学运算、逻辑推理 知识点1 两条直线平行　 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. （3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 【即学即练1】若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列命题： ①若l1∥l2，则斜率k1＝k2； ②若k1＝k2，则l1∥l2； ③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2； ④若α1＝α2，则l1∥l2. 其中真命题的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①错，两直线不一定有斜率．故选C 【即学即练2】已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【解析】，，，但直线在y轴上的截距不确定， 直线与的位置关系是平行或重合．故答案为：平行或重合． 【即学即练3】l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________. 【解析】∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1， ∴m＝0. 知识点2 两条直线垂直　 1．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. （2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． （3）判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【即学即练4】(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　) (5)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　) (6)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ (5)√　(6)√ 【即学即练5】直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　　 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【解析】设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.选D 考点一 两条直线平行的判定及应用 解题方略： k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．　　　　 （一）两条直线平行关系的判定 【例1-1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行． (1)的斜率为2，经过，两点； (2)经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点； (3)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【解析】(1)经过，两点，则，则，可得两直线平行. (2)经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； (3)k1＝＝1，k2＝＝.∵k1≠k2，∴l1与l2不平行． (4)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2. 变式1：直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（       ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 【解析】由点，，可求得直线的斜率， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 则有，则直线与直线平行或重合. 故选： D. （二）两条直线平行关系的应用 【例1-2】经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是(　　) A．4　　　　　　　　　 B．1 C．1或3 D．1或4 【解析】由题意，知＝1，解得m＝1.故选B 变式1：若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（     ） A． B． C．2 D． 【解析】由题意得，与共线，所以， 解得．经检验知，符合题意， 故选:B． 变式2：已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为_______； 【解析】当时，直线方程为，直线方程为，两直线平行， 当时，，，由得