2.1.1倾斜角与斜率 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.1 倾斜角与斜率 课程标准 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 数学抽象 直观想象 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角 ②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线 【即学即练1】如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 【解析】由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.故选D 【即学即练2】若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为(　　) A．0° B．30° C．60° D．90° 【解析】因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°. 【即学即练3】若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是(　　) A．45°　　　　　　 B．135° C．45°或135° D．－45° 【解析】作出直线l，如图所示，由图易知，应选B. 【即学即练4】【多选】下列说法中，正确的是(　　) A．直线的倾斜角为α，且tan α＞0，则α为锐角 B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α 【解析】对于A，因0°≤α＜180°，且tan α＞0，则α为锐角，A正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，显然D正确．故选AD 知识点2　直线的斜率 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα. 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝. ②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行 ③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换 【即学即练5】已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A. B. C．1 D. 【解析】由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝. 【即学即练6】直线经过点P(3,2)，Q(－3,3)，则k＝________.直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)． 【解析】k＝＝－＜0，直线PQ的倾斜角为钝角． 答案：－　钝 知识点3 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练7】若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　) A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1 C．90°，不存在 D．180°，不存在 【解析】由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C. 【即学即练8】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3　　 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【解析】直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2. 考点一 求直线的倾斜角 解题方略： 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 【例1-1】已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180° 【解析】直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角