2.3.3 直线与圆的位置关系-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第二章 平面解析几何 2.3圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，设圆心(a，b)到直线的距离是d， d=，则有： 位置 关系 几何特征 代数特征 (方程联立) 公共点个数 相离 d>r 无实数解(Δ<0) 0 相切 d=r 一组实数解(Δ=0) 1 相交 d<r 两组实数解(Δ>0) 2 常见考点 考点一 判断直线与圆的位置关系 典例1．圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】 由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可得. 【详解】 将圆的方程化为标准方程：， 得圆心坐标为，半径 则圆心到直线的距离 因为，所以圆与直线相离. 故选：B 变式1-1．直线与圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 求得圆心到直线的距离和半径之间的关系，进行判断即可． 【详解】 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切． 故选：B 变式1-2．直线与圆的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．由的取值确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断. 【详解】 因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切. 故选：A． 变式1-3．圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交. 【详解】 直线可化为，所以恒过定点. 把代入，有：， 所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交. 故选：C 考点二 根据直线与圆的位置关系求参数 典例2．直线与圆相切，则（       ） A．3 B． C．或1 D．3或 【答案】D 【解析】 【分析】 利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为 又直线与圆相切， 则，解之得或， 故选：D． 变式2-1．已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（       ） A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，） 【答案】D 【解析】 【分析】 利用圆心到直线的距离列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 直线， 由于圆与直线相交， 所以，解得. 故选：D 变式2-2．若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由圆心到直线距离小于等于半径列出不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】 圆心为，半径为，由题意得：，解得：. 故选：C 变式2-3．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围. 【详解】 圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可. 故选：C 考点三 圆上动点到定直线距离的最值或范围 典例3．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（       ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径，然后求出最短距离即可． 【详解】 解：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． 故选：C． 变式3-1．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离最大值为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得． 【详解】 由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为. 故选：C． 变式3-2．已知直线与圆相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 由可知：圆心，半径为， 圆心C到直线距离， ∴， ∴. 故选：C 变式3-3．圆上到直线的距离为2的点的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合圆的半径大小确定圆上到直线距离为2的点的个数. 【详解】 圆的圆心为，半径