3.1.3 函数的奇偶性-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶性 知识梳理 1.函数奇偶性的定义： (1)对于函数的定义域内任意一个，都有 函数是偶函数； (2)对于函数的定义域内任意一个，都有 函数是奇函数； 2.图像特征： （1）偶函数：图像关于y轴对称． （2）奇函数：图像关于原点对称． 3．函数奇偶性的相关性质 （1）若函数是奇函数,是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的 ①是奇函数, ②或是偶函数 ③是偶函数, ④是偶函数 （2）若函数是偶函数,是偶函数 ，定义域都是关于原点对称的 ①是偶函数, ②或是偶函数 ③是偶函数, ④是偶函数 （3）若函数是奇函数,是偶函数，定义域都是关于原点对称的 ①是非奇非偶函数, ②或是奇函数 （4）若函数是偶函数,是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的 ①是是偶函数 ②是非奇非偶函数, （5）若函数，定义域都是关于原点对称 ①是奇函数时，奇函数，则是奇函数； ② 是奇函数时，偶函数，则是偶函数； (3) 是偶函数时，无论是奇函数或偶函数，都是偶函数. 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 常见考点 考点一 函数奇偶性的定义与判断 典例1．下列说法正确的是（       ） A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】 利用奇函数、偶函数定义，举出函数实例，逐项分析判断作答. 【详解】 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确； 定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误， 如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误． 故选：B 变式1-1．下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据奇偶函数的定义判断即可； 【详解】 解：对于A：定义域为，且， 所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且， 所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 变式1-2．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案. 【详解】 解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除； D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除； C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减. 故选：C. 变式1-3．下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性的定义和单调性，逐项判断，即可得到结果. 【详解】 当时，函数，其在区间内单调递减，故A不正确； 函数的定义域为，且，所以是奇函数，故B不正确； 函数的定义域为，且，所以是偶函数，由二次函数的性质可知函数在区间内单调递增，故C正确； 函数的定义域为，且，所以是奇函数，故D不正确； 故选：C. 考点二 利用函数奇偶性识别函数的图像 典例2．函数的图象大致为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断. 【详解】 解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D； 又时，，排除选项C，故选项A正确. 故选：A. 变式2-1．函数的大致图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先研究函数的奇偶性排除B，再根据的解排除D，根据确定答案. 【详解】 由题得函数的定义域为，关于原点对称. ,所以为奇函数，排除B； 当时，，排除D； 当时，，故选A. 故选：A 变式2-2．以下函数图象中为奇函数的一项是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质进行判断即可. 【详解】 因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合， 故选：A 变式2-3．函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，结合选项即可判定，即可求解. 【详解】 由题意，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，排除B、C； 又由当时，可得，所以只有选项A适合. 故选：A. 考