不等式专题：一元二次方程根的分布问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

一元二次方程根的分布问题 一、二次函数相关知识 对于形如的二次函数，有以下性质： 1、判别式：；求根公式：； 2、韦达定理：，； 3、二次函数对称轴，定点坐标（，）． 二、一元二次方程根的0分布 方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。 三、一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 四、一元二次方程根在区间的分布 分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 题型一 R上根的分布情况 【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___. 【答案】. 【解析】∵关于x的一元二次方程没有实数根 ∴ ∴ 解得：. 【变式1-1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于的方程有两个不等的实根 且，即：且， 解得且.故选：D. 【变式1-2】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】由题可知：，所以， 又因为，所以且.故选：B. 【变式1-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 所以，即 解得：或故选：C. 题型二 根的“0”分布 【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于的方程有两个不同的正根， 所以，解得， 故实数的取值范围是.故选：C 【变式2-1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】首先， 设方程的两根为，则， 所以，又，解得． 故答案为：． 【变式2-2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根， 得，解得. 【变式2-3】一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为一元二次方程有两个不等的非正根， ，解得，故选：C 【变式2-4】若方程只有正根，则m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】方程只有正根，则 当，即时， 当时，方程为时，，符合题意； 当时，方程为时，不符合题意. 故成立； 当，解得或， 则，解得. 综上得.故选B. 题型三 根的“k”分布 【例3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 由题可知： 则，即，故选：C 【变式3-1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】的两个根都大于 ，解得 可求得实数的取值范围为，故答案为： 【变式3-2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1， 设， 根据二次函数的性质，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式3-3】若关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1， 令， 则，解得， 题型四 根在区间上的分布 【例4】关于x方程在内恰有一解，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，不合题意； ∴，令，有，， 要使在内恰有一个零点， ∴即可，则，故选：B 【变式4-1】（多选）已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（ ）