第07讲 直线的交点坐标与距离公式（6大考点12种解题方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 直线的交点坐标与距离公式（6大考点12种解题方法） ( 考点 考向 ) 一、两条直线的交点坐标 1．基础知识 几何元素及关系 代数表示 点M 直线l 不同时为0） 点M在直线l上 直线与的交点是M 方程组的解是. 2．两条直线的交点 已知两条不重合的直线不同时为0），不同时为0），如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的 交点． 3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 一组 无数组 无解 【微点拨】本节课中的平面内两条直线的位置关系是相交与平行. 4.直线过定点问题 【微点拨】如果是不论参数为何值，那么过定点的直线为直线系. 二、两点间的距离公式 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 2．两点间距离公式的推导 法一：已知平面上的任意两点，向量，则. 因此得到平面上的任意两点的距离公式为：. 法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q． 在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得． 所以． 由此得到平面上任意两点间的距离公式为． 三、坐标法（解析法） 1．坐标法的定义 通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法． 2．坐标法解决问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； （4）反演回去，得到几何问题的结论． 也可简记为： 【微点拨】对解析几何的理解就是将几何问题代数化，也就是用代数方法解决平面几何问题，是数与形的最好结合. 四、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 【微点拨】对称与距离有关，与垂直有关. 五、点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为， 于是有，， ． 设，由三角形面积公式可得， 于是得． 因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离． 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立． 【微点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 4.点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 六、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平