第05讲 倾斜角与斜率（7大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 倾斜角与斜率（7大考点） ( 考点 考向 ) 一、直线的倾斜角 直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°． 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角． 直线的确定： 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可． 倾斜角与倾斜程度： 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度． 二、直线的斜率 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即． 注：倾斜角是90°的直线没有斜率． 过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为． 2．公式的推导 如图（1），（2），设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图（3），（4），也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等．若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算． 三、倾斜角与斜率的关系 斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴平行中重合； 当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着增大； 当α=90°时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； 当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着增大． 直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度． 四、直线的斜率与直线的方向向量 若直线 的斜率为 它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 若直线 的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则. 五、两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即．∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 六、两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． ( 技巧 方法 ) 1.求直线的斜率 （1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算．当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系（如平行、垂直等）确定出所求直线的倾斜角，再代入计算． （2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等．若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算． 2.三点共线问题 两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可．用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况．斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线． 3.直线的斜率、倾斜角的应用 (1)解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，注意倾斜角是几何