第二章 2.2.4 第1课时　均值不等式-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 学习目标　 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3. 能初步运用均值不等式证明不等式和求最值． 知识点一　算术平均值与几何平均值 两个正数的算术平均值、几何平均值定义： 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 知识点二　均值不等式 1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 思考　均值不等式可以有哪些变形？ 答案　①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2； ②当a＞0，b＞0，则ab≤2. 1．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　√　) 2．若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.(　√　) 3．a，b同号时，＋≥2.(　√　) 4．函数y＝x＋的最小值为2.(　×　) 一、对均值不等式的理解 例1　下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2＝2 B．若a<0，b<0，则≤ab C．当a＞2时，a＋的最小值是6 D．当a＞0，b＞0时，≥ 答案　C 解析　A中，可能＜0，所以不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以不正确； C中，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立，所以正确； D中，由均值不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以不正确． 反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 跟踪训练1　(多选)下列结论不正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，2x＋的最小值为2 答案　AC 解析　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”； 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2； 对于选项D,2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立． 二、利用均值不等式求最值 命题角度1　直接求最值 例2　(1)已知t＞0，求y＝的最小值； (2)当x>0时，求＋4x的最小值； (3)当x<0时，求＋4x的最大值． 解　(1)依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2， 当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t>0)的最小值是－2. (2)∵x>0， ∴>0,4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，取得最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (3)∵x<0，∴－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8. 反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练2　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案　 B 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25. (2)若x>0，则12x＋的最小值为________，若x<0, 则12x＋的最大值为________． 答案　4　－4 解析　因为x>0， 所以12x＋≥2＝4， 当且仅当12x＝，即x＝时等号成立． 所以x>0时，12x＋的最小值为4. 当x<0时，－x>0， 所以12x＋＝－ ≤－2＝－4.当且仅当x＝－时，等号成立． 所以x<0时，12x＋的最大值为－4. 命题角度2　拼凑法求最值 例3　已知x>2，则y＝x＋的最小值为________． 答案　6 解析　因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝， 即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6. 延伸探究　若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值． 解　因为x<2，所以2－x>0， 所以y＝x＋＝－＋2 ≤－2＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)， 即x＝0时，等号成立． 故y＝x＋的最大值为－2. 反思感悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为