第13、14节 函数问题综合探究与 “有解”和“恒成立”问题探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 14 节 “有解”和“恒成立”问题探究 数学研究中，时常会遇到与“有解”和“恒成立”相关的问题，“有解”通常包括“方程有解”和“不等式有解”， 而“恒成立”也包括了“等式恒成立”和“不等式恒成立”．在这一节，重点研究与“不等式有解”和“不等式恒成 立”有关的问题． 【实验 1】“ 0)( xf 型不等式”有解问题 “ 0)( xf 型不等式”有解问题，从几何角度看，就是 )(xfy  有一部分函数图象在 x轴的上方；从函 数角度看，即是在函数 )(xf 定义域内存在 0x ，使得 0)( 0 xf ；从不等式角度看，即要求 )(xf 在定义域 中的最大值大于 0． 【探究问题 1】 已知不等式 042  axx 在  3,1 内有解，求参数a的取值范围． 【分析】 从数学实验的角度分析，如果令 4)( 2  axxxf ，作出 )(xf 图象．由此，只需考查当  3,1x 时， 若 0)( xf 有解，对应的参数a的取值范围即可． 【探究步骤】 1.在 GGB 指令栏内输入“函数 ]3,1,4*2^[  xax ”，在绘图区内作出函数 4)( 2  axxxf （  3,1x ） 图象，并设定参数  5,5a ，增量 1.0 ； 2.拉动滑杆a，观察当 a取何范围的值时， )(xf 在  3,1 内的图象，有部分能在 x轴的上方，这个范围 即是本题答案． 经实验，得到满足条件的实数a的大致范围为 5a ． 以下给出数学求解． 【方案 1】 当  3,1x 时，不等式 042  axx 可化为 x xa 4  ，要使不等式 x xa 4  在  3,1x 有解，只需a 小于函数 x xy 4  在  3,1x 的最大值．故 5a ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【说明】 不等式有解和不等式恒成立，在数学求解时，思路类似，那就是通过分离参数，转化为 )(xFa  ，或 )(xFa  类型．对于 )(xFa  在 Ix 有解，即是要求存在 Ix 0 ，使得 )( 0xFa  ，也就是要求函数 IxxFy  ),( 的部分图象在直线 ay  的上方，只需函数 IxxFy  ),( 的最大值大于a，即是 )(xFa  在 Ix 的最大值． 【方案 2】 要使不等式 042  axx 在  3,1 内有解，即是要求函数  3,1,4)( 2  xaxxxf 的最大值大于 0．而 4)( 2  axxxf 图象是开口向上的抛物线． （1）当 2 2  a ，即 4a 时，  3,1)( xxf 在 的最大值为 af 313)3(  ，由 0313  a 得 3 13 a ，又 4a ，故此时满足条件的a的取值范围为 4a ； （2）当 2 2  a ，即 4a 时，  3,1)( xxf 在 的最大值为 af  5)1( ，由 05  a 得 5a ，又 4a ， 故此时满足条件的a的取值范围为 54  a ． 由此得出本题答案为 5a ． 【说明】 1.【方案 1】和【方案 2】分别从几何角度和代数角度对问题进行了研究，是研究此类问题的两种典型 思路． 2.考查【方案 1】和【方案 2】，前者更简单便捷，所以分离参数就成了求解“不等式有解”问题的首选方 案． 3.上述研究可得： 0)( xf 在 Ix 上有解 )(xf 在 I 上的最大值大于 0；同理， 0)( xf 在 Ix 上 有解 )(xf 在 I 上的最小值小于 0． 【实验 2】“ )()( xgxf  型不等式”有解问题 “ )()( xgxf  型不等式”有解问题，从几何角度观察，即是在函数 )(),( xgxf 的公共定义域 I 内，存在 0x ，使得 )()( 00 xgxf  ，也就是在它们的公共定义域 I 内，对于同一个 ,x )(xfy  的图象部分在 )(xgy  图象的上方．当然也可以把 )()( xgxf  转化为 0)()(  xgxf ，此时若令 )()()( xgxfxF  ，则问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 转化为 0)( xF ，此类问题在【实验 1】已经研究过了． 【探究问题 2】 已知不等式 mx x       2 1 )1ln( 2 在  30，有解，求参数m的取值范围． 【探究步骤】 1.在指令栏输入“函