第7、8节 指数函数、对数函数与幂函数与反函数的拓展研究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 8 节 反函数的拓展研究 数学实验除了可以改变知识的呈现方式，丰富读者对知识的理解，还有一个很重要的作用：对知识作 拓展研究． 如教材在研究了对数函数的图象及其性质，把对数函数和指数函数作一番比较，给出了反函数的概 念．然后给出了以下的探究与发现（如图 3.8-1）． 研究教材可以发现：编者意图想从特殊点入手，研究指数函数 图象上的点 关于直线 的对称点是否在对数函数 的图象上，从而得出 的图象关于直线 对称，最后引申到指数函数 与对数函数 的图象关于直线 对称． 这种从特殊到一般的方法是数学研究常用方法之一，但要在问题 2 的基础上解决问题 3，对于不少读者 来说，仍然具有较高难度，并且互为反函数的两个函数除了图象关于直线 对称外，还有没有其他性质 呢？此时，如果通过数学实验，引导读者对此进行拓展性研究，将有助于读者达成对问题更加深入的理解． 【实验 1】反函数与原函数的关系探究 【探究步骤】 1．设置参数a，范围为 ； 2.在指令栏分别输入“ xay ^ ”“ ),log( xay  ”，作出函数 与 的图象，分别设置颜色为红色和绿色； 3.拉动滑杆a，引导学生仔细观察两个函数的图象的联系． xy 2 321 PPP ，， xy  xy 2log xyy x 2log2  与 xy  )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a xy  xy   5001.0 ， )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a 图 3.8-1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 该拓展性研究可以从以下几个方面进行： 1．通过观察两个函数图象，分别得出 与 的定义域和值 域．判断“ 的定义域恰好是 的值域，而 的值 域恰好是 的定义域”这一命题的真伪，并在理论上给出证明； 2. 与 的单调性有什么规律？为了进一步验证这一规律，可 以拉动滑杆 a，引导学生仔细观察，或者让学生动手实验，以加深学生的印象．在此基础上，让有能力的 学生完成这一结论的证明； 3. 与 图象一定相交吗？如果相交，有几个交点？ 此问题的提出，主要是为了加深学生对这两个函数图象关系的认识．为了让学生更加深入的了解，可 由学生动手实验，拉动滑杆 a，对交点个数情况作仔细观察； 4. 与 图象一定关于直线 对称吗？ 【探究步骤】 1.在指令栏输入“ xy  ”，得到直线 ，在 的图象上任取一点 A，选择工具栏 中的“轴对称”工具，依次点击点 A和直线 ，得到点 A关于直线 的对称点 'A ； 2.拉动点 A，引导学生注意观察随着点 A的运动，对称点 'A 是否恒在 图象上； 3.引导有能力的学生对上述结论作出证明． 【实验 2】指数函数、对数函数和幂函数的综合探究 当 2 1 0  x 时， xa x log4  ，求实数a的取值范围． 【分析】 该不等式左边是指数函数，右边是对数函数，在数学中称之为超越不等式，此类不等式通常无法求解．本 题的题意，并非求解这个不等式，而是问当 2 1 0  x 时，如果 xa x log4  恒成立，求实数 a的取值范围． 【探究步骤】 1.在 GGB 中分别作出 xy 4 和 xy alog 在      2 1 0， 的图象； )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a )1,0(  aaay x )1,0(log  aaxy a xy  xy  )1,0(  aaay x xy  xy  )1,0(log  aaxy a 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 2.拉动滑杆a，观察不等式成立时实数a的取值范围． 经观察，可大致得到：当 16.0  a 时， xa x log4  ． 其实，当 1a 时， xy alog 在      2 1 0， 恒小于 0，而 xy 4 在      2 1 0， 恒大于 0，此时不等式不可能成 立； 当 10  a 时， xy alog 在      2 1 0， 单调递减，而 xy 4 在      2 1 0，