第5、6节 函数零点存在性研究与 “对勾函数”与“飘带函数”拓展研究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第６节 “对勾函数”与“飘带函数”拓展研究 函数 是高中常见的函数，其图象通常称之为“对勾”．如果拓展开来，形如 的函数图象又是什么样的？它们又将具有什么样的性质？本节将对它进行探究． 【实验 1】 的函数图象类型研究 【探究步骤】 1．在指令栏内输入“ xbaxy / ”，设定参数 ba, 的范围为默认范围； 2.点击文本工具，在编辑框内输入“ 0a ”，点击确定．而后右键点击属性，在属性“高级”的显示条件 输入 0a ，并对字体颜色和字号进行设置．用同样的方法设置 0,0,0  bab ； 3.分别右键点击滑杆 ba, ，在右键菜单中选定“开启动画”，则 ba, 的数值会自动改变，函数图象也随之 改变．共可得到 的四种图象类型（如图 3.6-1），其中图 1，图 2 被称为“对勾”，图 3、 图 4 形似两根飘动的带子，称之为“飘带”． 【说明】 步骤 2 的目的是让课件根据 ba, 的数值，自动显示 ba, 的取值范围，这在 GGB 中被称为自动文本，自 动文本在课件制作中是一种很有用的工具． 【实验 2】探究 在 的最小值 1．设置参数a的范围为 ； x xy 1  )0(  ab x b axy )0(  ab x b axy )0(  ab x b axy )0(  a x a xy ]2,1[  8,01.0 图 3.6-1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2.在指令栏输入“ xaxy / ”，作出 图象，设置线型为虚线； 3.在指令栏输入“函数 ]2,1,/[ xax  ”，作出 在 的图象，设置颜色为红色，线径适 当加粗； 4.拉动滑杆a，即可研究 在 的最小值． 研究结论：当 时，函数在 取得最小值；当 时，函数在 取得最小值；当 时，函数在 取得最小值． 【拓展研究 1】 探究 在 的最大值． 【拓展研究 2】 探究 在 的最小值． 【拓展研究 3】 探究 在 的最大值． 以上拓展研究方法与【实验 2】类似，读者可自行研究． 【实验 3】探究函数 图象上两点（两点各在一支）间距离最小值 【分析】 函数 图象关于坐标原点对称，因而从图象直观上可以看出，只有当两点恰好关于坐标 原点对称时，它们的距离才有可能最短．因而本题只需研究坐标原点到图象上的点的最小值． 为简化问题的研究过程，首先对a取特殊值 进行研究． 【探究步骤】 1．设置参数a，取值范围为 ； 2.在指令栏输入“ xaxy / ”，得到函数 图象； 3.在所得函数图象上任取一点 A，连结OA，并测量OA的距离； 4.拉动滑杆a，使 1a ； 5.拉动点 A，观察 OA 的最小值，及取得最小值时的点 A坐标； )0(  a x a xy )0(  a x a xy ]2,1[ )0(  a x a xy ]2,1[ 10  a 1x 41  a ax  4a ２x )0(  a x a xy ]2,1[ )0( 1  a x axy ]2,1[ )0( 1  a x axy ]2,1[ )0(  a x a xy )0(  a x a xy 4,2,1  5,01.0 )0(  a x a xy 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6.重复步骤 5,4 ，分别得到 4,2  aa 时的最小值及对应的点 A坐标； 7.分析以上三种情形的最小值及对应的点 A坐标，试图找出规律，并加以证明． 【说明】 1．从特殊到一般是数学研究的常用方法，应该说明的是，有些时候，数学实验受测量精度等因素的影 响，得到的结论只能称之为猜想，最后的数学结论必须从推理上给予严格证明． 2.要求出OA的最小值并不难，通过建立OA距离的函数关系式即可求解，本处不再赘述．有兴趣的读 者，可以在本例的基础上设定函数 的定义域，然后再研究距离的最小值． 【实验 4】“对勾”函数综合探究 已知 93,0,0  xyyxyx ，求 yx 3 的最小值． 【分析】 由 93  xyyx 可得 )0( 3 12 1 3 123 3 9          x xx x x x y 由 0y 可得 93,0 3 9    x x x 综上，可得 93,0,0  xyyxyx 的本质就是一段双曲线图象： )90( 3 12 1    x x y 而如果设 ayx ＝3 ，则