第3、4节 幂函数拓展研究与二次函数区间最值研究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 4 节 二次函数区间最值研究 二次函数在闭区间上的最值问题，是高一数学公认的难点之一，它包括两种常见的基本题型：（1）函 数图象不变，但区间可变（当然，区间长度通常不变，否则研究难度太大）；（2）区间不变，但函数图象可 变（通常是对称轴位置的改变，也有个别题目涉及开口方向改变）．它难在哪里？难就难在无论区间改变还 是图象改变，都要求学生必须学会用运动的观点研究问题．而传统教学中，画在纸上和黑板上的图象都是 不动的，运动只能依靠学生的直观想像，但大部分刚从初中升入高一的学生，在想像能力上还是比较不足 的．本节课件在第二章第５节所作课件“2-5 实验 2.ggb”的基础上作修改． 【实验 1】研讨二次函数图象固定，区间变化（但区间长度保持不变）时的最值问题 1．探究二次函数 在区间 上的最小值． 【分析】 先探究函数图象和区间都固定的情况下二次函数的最值，为后续探究作铺垫． 【探究步骤】 1.调整课件“2-5 实验 2.ggb”滑杆，使 的值分别为 ，从而使二次函数解析式为 ，定义域为 ； 2.观察函数 在区间 的图象，确定函数在该区间上的最小值． 【拓展探究 1】 探究二次函数 在区间 上的最小值． 【拓展探究 2】 探究二次函数 在区间 上的最小值． 【说明】 【实验 1】、【拓展探究 1】、【拓展探究 2】所提三个探究问题分别对应了函数图象对称轴分别在区间的 右侧、在区间内和在区间左侧的情形，让学生首先观察这三种情形下的最小值，目的是为【实验 2】作好准 备． 2 2 3y x x    4, 2  nmcba ,,,, 2,4,3,2,1  2 2 3y x x    4, 2  2 2 3y x x    4, 2  2 2 3y x x    2,0 2 2 3y x x    0,2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【实验 2】 探究二次函数 在区间 上的最小值（其中 ）． 【探究步骤】 1.调整课件“2-5 实验 2.ggb”滑杆，使 的值分别为 ，从而使二次函数解析式为 ， 作出直线 ．双击实曲线函数 图象，在属性里修改范围为 ，删除滑杆n； 2.拉动滑杆 ，让 从 慢慢增长到5，仔细观察函数 在区间 的图象变化 情况，特别注意随着 的改变，函数图象的变化有什么规律，分别在哪些位置取到最小值． 【说明】 在【实验 1】、【拓展探究 1】、【拓展探究 2】的铺垫下，【实验 2】意在引导学生应用运动变化的观点， 自主探究定函数在区间变化（但区间长度不变）时的最值． 【思考】 删除滑杆n，直线 也随之删除，这是为什么？ 通过以上的系列研究，可以得到，对于开口向上的抛物线，在图象固定的情形下，函数在动区间（区 间长度保持不变）上的最小值包含三种情形： （1）如果对称轴在区间的右侧，则函数在区间的右端点取到最小值； （2）如果对称轴在区间内部，则函数在对称轴取到最小值； （3）如果对称轴在区间的左侧，则函数在区间的左端点取到最小值． 在此基础上，开展拓展研究： 【拓展研究 3】 探究二次函数 在区间 上的最大值（其中 ）． 【拓展研究 4】 探究二次函数 在区间 上的最小值（其中 ）． 【拓展研究 5】 探究二次函数 在区间 上的最大值（其中 ）． 以上研究方法和【实验 2】类似． 【实验 3】研讨区间固定，二次函数图象变化（主要研究对称轴变化）时的最值问题． 2 2 3y x x    , 2m m  mR cba ,, 3,2,1 2 2 3y x x   2 mx 2 2 3y x x    2, mm m m 5 2 2 3y x x    , 2m m  m nx  2 2 3y x x    , 2m m mR 2 2 3y x x     , 2m m mR 2 2 3y x x     , 2m m  mR 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 探究二次函数 在区间 上的最小值（其中 Rb ）． 【探究步骤】 1.调整课件“2-5 实验 2.ggb”滑杆，使 的值分别为 ，从而使二次函数解析式为 ，定义域为 ； 2.拉动滑杆 ，让 从 慢慢增长到5 ,仔细观察函数 在区间 的图象，特别注意随 着对称轴位置的改变，函数分别在哪些位置取到最小值． 通过【实验 3】的研究发现，对于开口向上的抛物线，在区间固定的情形下，动函数（本处单指对称轴 在运动的情形）在区