§2.3　第1课时　一元二次函数与方程-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次函数与方程 学习目标　1.能熟练运用十字相乘法分解因式.2.掌握一元二次函数的表达式与图象.3.理解一元二次函数与一元二次方程的关系． 导语 同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之，秦九韶等大家都耳熟能详的名字，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌．既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了，实际上，对于求解一元二次方程方法很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法，请同学们看下面的问题1. 一、十字相乘法因式分解 例1　分解下列因式： (1)x2＋4x＋3；(2)5x2－6x＋1； (3)m2＋2mn－3n2；(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)． 解　(1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)． (2)5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1)． (3)m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n)． (4)ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)． 反思感悟　(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘． (2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止． 跟踪训练1　(1)因式分解：x2＋3x－10＝________. 答案　(x＋5)(x－2) 解析　 x2＋3x－10＝(x＋5)(x－2)． (2)因式分解：x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1)． 解　由题意，利用十字相乘法，可得x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1)＝(x－a2)[x－(a＋1)]． 二、一元二次方程 问题1　请同学们写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式以及根与系数的关系？ 提示　x＝，x1＋x2＝－，x1x2＝. 例2　求下列方程的根： (1)x2＋3x＋2＝0；(2)x2＋x－1＝0； (3)ax2＋(a＋1)x＋1＝0(a≠0)． 解　(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0， ∴x＝－1或x＝－2. (2)对于x2＋x－1＝0，由Δ＝1－(－4)＝5>0， 得方程有两个不相等的实数根，为x＝， 即x＝或x＝. (3)ax2＋(a＋1)x＋1＝(ax＋1)(x＋1) ＝a(x＋1)＝0， ∴x＝－1或x＝－. 反思感悟　求一元二次方程的根需注意： (1)首先要把方程变成一般形式． (2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0. (3)注意a，b，c应包含各自的符号． (4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别． (5)对求出的根进行化简． 跟踪训练2　已知一元二次方程2x2－6x－1＝0的两实数根为x1，x2，不解方程，求代数式＋的值． 解　由根与系数的关系得， x1＋x2＝3，x1·x2＝－. 故＋＝ ＝ ＝＝－20. 三、一元二次函数与图象 问题2　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？ 提示　①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标． ②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标． ③当Δ<0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点． 例3　已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 答案　D 解析　由题意可知k－3≠0， 且(k－3)x2＋2x＋1＝0有实数根， ∴Δ＝4－4(k－3)≥0，即k≤4， 综上，k≤4且k≠3. 延伸探究 1．若把例题中的“二次函数”去掉，求k的取值范围． 解　此时k－3可以为0，故此时应选B. 2．若函数与x轴有两个交点，求k的取值范围． 解　Δ>0，故有k<4且k≠3. 3．若函数与x轴无交点，求k的取值范围． 解　Δ<0，故有k>4. 反思感悟　(1)会通过Δ＝b2－4ac的符号判断二次函数的图象与x轴交点的个数． (2)二次项含参时，要注意题目中是否强调是二次函数，如没有强调，需分类讨论． 跟踪训练3　已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是(　　) A．a<α<β<b B．a<α<b