§2.1　第2课时　等式性质与不等式性质-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 导语 同学们，2008年你们也就刚出生不久，但是08年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥运会，没有之一，其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心，世界都把目光聚焦到北京，反映出中国经济发展的高水平和快速度，一个开放的中国正在向世界展露出新的姿态，使得中国对世界更加开放，世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国，有人说北京奥运会超过已经举办的任何一届奥运会！在刚才这一段话中，大家能发现有哪些不等关系吗？(条件允许可提前播放中国队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲《我和你》) 一、等式性质与不等式的性质 问题　判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质． 知识梳理 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的 符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 例1　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 答案　D 解析　方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 方法二　特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<，故B错． 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错． 反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 跟踪训练1　(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．a3>b3 答案　CD 解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确． 二、利用不等式的性质证明不等式 例2　已知c>a>b>0，求证：>. 证明　－＝ ＝＝， ∵c>a>b>0， ∴a－b>0，c－a>0，c－b>0， ∴>. 延伸探究　作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例吗？ 证明　方法一　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<， 所以－1<－1，即<， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 方法二　因为c>a>b>0， 所以0<c－a<c－b， 所以0<<， 即>>0， 又因为a>b>0，所以>. 反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 跟踪训练2　已知a>b>0，c<0，证明：>. 证明　方法一　－＝， ∵a>b>0，c<0， ∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0， ∴－>0，∴>. 方法二　∵a>b>0， ∴>>0， ∵c<0，∴<. 即>. 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3　已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围． 解　因为－6<a<8,2<b<3， 所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2， 所以－9<a－b<6. 又<<， ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，0<－a<6， 所以0<－<3，所以－3<<0. 由①②得－3<<4. 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不