§2.1　第1课时　不等关系与不等式-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

§2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小． 导语 大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较．正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”． 一、用不等式(组)表示不等关系 问题1　生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 提示　①最低限速50 km/h，v≥50；②限制质量10 t,0<ω≤10；③限制高度3.5 m,0<h≤3.5；④限制宽度3 m,0<x≤3；⑤时间范围7：30－10：00,7.5≤t≤10. 问题2　你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数n不少于10人． (2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000； (3)若小明身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮； (4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图)． 提示　(1)(2)设月薪为x元，则x≥3 000；(3)x<y；(4)；(5)CD<CE. 知识梳理 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致；(2)用适当的不等号连接；(3)多个不等关系用不等式组表示． 例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 则 反思感悟　用不等式(组)表示不等式关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 跟踪训练1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系． (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍． 解　(1)0<h≤4；(2)a＋b≥0； (3) 二、作差法比较大小 问题3　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 知识梳理 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式；(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小． 例2　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝2＋. ∵2≥0， ∴2＋≥>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤 跟踪训练2　比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小． 解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)． 三、重要不等式 问题4　如图是由在北京召开第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示　正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们