§1.2　集合间的基本关系-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

§1.2　集合间的基本关系 学习目标　1.理解两个集合间的包含关系.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.3.理解空集与子集、真子集之间的关系． 导语 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5,5<7,5>3，等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？(同学们有可能回答包含关系)嗯，大家都预习课本了，有同学说了，集合间有包含关系，不错，本节课的关键词就是“包含”，古人有云：困难里包含着胜利；失败里孕育着成功；书包含着人生；机会包含于每个人的奋斗之中． 一、子集 问题1　观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系吧． (1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 提示　(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C. (3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A. 知识梳理 1. 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B；(2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M. 延伸探究 1．上题中，若B⊆A，求实数a的取值范围？ 解　a≥1. 2．上题中，若集合A改为A＝{x|x≥1}，若A⊆B，求实数a的取值范围？若B⊆A呢？ 解　若A⊆B，则a<1，若B⊆A，则a≥1. 反思感悟　判断集合间关系的常用方法 跟踪训练1　(1)已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C 答案　B 解析　集合A，B，C的关系如图． (2)现有以下三组集合： ①{a，b}和{b，a}； ②{1,0}和{(1,0)}； ③{y|y＝x2，x∈R}和{x|y＝x2，x∈R}； 其中，满足集合相等的有(　　) A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 答案　C 解析　①中两集合含有相同的元素，故这两个集合相等；②中集合{1,0}含有两个元素1,0，而集合{(1,0)}中只有一个元素(1,0)，这两个集合不相等；③中两集合都是用描述法表示的，代表元素不一样，这两个集合不相等． 二、真子集 问题2　通过学习子集的概念我们发现，一个非空集合的子集有好多个，你能对它们分类吗？ 提示　对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集． 知识梳理 1. 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 图示 结论 (1)AB且BC，则AC； (2)A⊆B且A≠B，则AB 2. 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 3.性质：(1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 注意点