辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题

2021---2022学年度下学期期末考试题 高一数学答案 1、 选择题：1-8 BACDB CBA 9--12 AD ACD ABC ABC 二、填空题： 13、 ﹣1﹣i 14、 15、 16、9 三、解答题： 17、（本题满分10分） 解：解：（Ⅰ）＝2sinωx+cos（ωx+）＝2sinωx+cosωx﹣sinωx ＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），…………2分 因为函数f（x）的最小正周期为π， 所以＝π，即ω＝2，…………4分 所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）．…………5分 （Ⅱ）由题意知，y＝g（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），…………7分 令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，则x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，………9分 所以函数y＝g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…………10分 18、 （本小题满分12分） 解：（1）由于2acosA＝bcosC+ccosB， 利用正弦定理：2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB＝sinA， 所以cosA＝，…………3分 由于A∈（0，π）…………4分 所以A＝；…………5分 （2）因为△ABC的面积为，所以bcsinA＝bc＝，解得bc＝4，……7分 因为A＝，a＝，所以b²+c²﹣2bccos＝6，……9分 整理可得（b+c）²＝3bc+6＝18，解得b+c＝3，……11分 故△ABC的周长为．…………12分 19、（本题满分12分） 解：（1）由三角函数的定义可得x1＝cosα＝，y1＝sinα＝，…………1分 则x2＝cos（α+）＝cosα﹣sinα＝﹣，sin2α+cosα﹣ …………3分 y2＝sin（α+）＝sinα+cosα＝，…………5分 所以点B（﹣，）；…………6分 （2）由三角函数的定义可得y1＝sinα，y2＝sin（α+）＝cosα， 所以y＝sin2α+cosα﹣ α∈（0，）…………8分 y＝sin2α+cosα﹣ ＝1﹣cos2α+cosα﹣，…………9分 令cosα＝t且t∈（0，1）， 则y＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+1，…………11分 当t＝时，ymax＝1，即y的最大值为1，…………12分 20． （本小题满分12分） 证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB＝90° ∴AC⊥BC，AC∩SC＝C，BC⊥平面SAC，…………2分 又∵P，M是SC、SB的中点 ∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，…………5分 （2）∵AC⊥平面SCB， ∴面MAP⊥面SAC．…………6分 ∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，…………7分 ∵直线AM与直线PC所成的角为60° ∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN， 则∠AMN＝60°在△CAN中，由勾股定理得．…………8分 在Rt△AMN中，MN＝＝•＝．…………10分 在Rt△CNM中， 故二面角M﹣AC﹣B的正切值为．…………12分 声明：21．（本小题满分12分） 解：设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°﹣15°﹣45°＝120°，…………2分 由余弦定理得，（28t）2＝81+（20t）2﹣2×9×20t×（﹣） 即128t2﹣60t﹣27＝0，…………5分 解得t＝或t＝﹣（舍去），∴AC＝21（海里），BC＝15（海里）．……7分 根据正弦定理得sin∠BAC＝＝，……9分 则cos∠BAC＝＝．又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角， ∴θ＝45°﹣∠BAC，……10分 sin θ＝sin（45°﹣∠BAC）＝sin 45°cos∠BAC﹣cos 45°sin∠BAC＝． …………12分 22、（本题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：取PC中点F，连结EF，BF， ∵E是PD的中点，∴EF∥CD，且EF＝CD，……2分 ∵AB∥CD，且CD＝2AB，∴AB∥EF，且AB＝EF， ∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF，……4分 ∵BF⊂平面PBC，AE⊄平面PBC， ∴AE∥平面PBC．……5分 （Ⅱ）解：取CD中点M，连结AM，MP，∴AM⊥CD， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∴CD⊥平面PAM， ∵CD⊂平面PCD，∴面PCD⊥面PAM，……7分 过A作AH⊥PM，连结HD，∴AH⊥面PCD，……9分 ∴∠ADH是直线AD与平面PCD所成角，……10分 ∵PA＝AD＝2，∴AM＝，MP＝， 在△PAM中，由等面积法知： AH＝＝，……11分