1.1 空间向量及其运算（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1 空间向量及其运算 · 考纲要求 1．了解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算． 3．掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的垂直． 4．理解直线的方向向量． · 知识解读 知识点①空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 知识点②空间向量的有关定理 1．共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 知识点③两个向量的数量积 1．非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 零向量与任意向量的数量积为0． 2．空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 知识点④空间位置关系的向量表示 1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2n1·n2＝0 · 题型讲解 题型一、空间向量的线性运算 · 方法技巧---用已知向量表示某一向量的3个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 例1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝____________. (2)用，，表示，则＝________. 例2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 例3．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋. 题型二、共线定理、共面向量定理的应用 · 方法技巧 1．证明空间三点P，A，B共线的方法 (1)＝λ(λ∈R)； 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y； (2)∥(或∥或∥)． 例1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 例2．如图所示，已知斜三棱柱ABC －A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面． 题型三、空间向量数量积及其应用 · 方法技巧---空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 例1．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·． (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 例2．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD． · 达标训练 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 2．如图，在三棱锥O －ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A．(－a＋b＋c) B．(a＋b－c) C．(a－b＋c) D．(－a－b＋c) 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋z，则x－y＋z等于(　　) A．