1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系（第1课时）（练案）解析版-【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

班级： 姓名： 日期： 《1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系》（第1课时）练案 1.（2022·湖北高二月考）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为，，所以， 因为平面的一个法向量为，所以， 则，解得，故选C. 2.（2022·乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选D. 3.（2022·北京高二期末）已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】,,,即,不一定有∥,也可能 “”是“∥”的不充分条件,∥,可以推出,“”是“∥”是必要条件,综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.故选B. 4.已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量． 【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、，所以，，，设面的法向量为，所以，令，则，，所以，即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，所以平面的一个法向量为. 5.如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：． 【证明】． 因为，， 所以，，． 又因为P为中点，所以， 从而与为共线向量．因为直线MN与BP不重合，所以． 6.四边形为正方形，平面，，.求证：平面. 【证明】如图所示，以为坐标原点，线段的长为单位长度，为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得， 则，所以时平面的一个法向量， 又因为，且，即且平面， 所以平面. 7.如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．求证：直线MN∥平面OCD； 【证明】 分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系 可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0） ∴（2，1，﹣1），（0，﹣2，2）， （2，0，0），（2，0，0），（0，1，0） 设平面OCD的法向量为（x，y，z）， 由，得 取y＝1，得z＝1，x＝0，所以平面OCD的法向量为（0，1，1）， ∴•2×0+1×1+（﹣1）×1＝0，可得⊥ 又∵MN⊄平面OCD， ∴直线MN∥平面OCD. 8.如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【证明】（1）以D为坐标原点，，，的方向 分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)， D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于＝(0，1，－1)， 则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. （2）因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量， 由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 则， 即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 9.（2022·浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 设，则。∵平行于平面， ∴，整理得， ∴线段长度，当且仅当时，线段长度取最小值.故选B. 10.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE． 【证明】因为M在BD上，且， 所以．同理． 又，所以， . 又与不共线，所以，，共面． 因为MN不在平面CDE内，所以平面CDE． 11.如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的点，若平面，试确定点的位置，并说明理由． 【解析】设，因为平面，所以存在实数，，使得．① 又 ，② 比较①②，可知，即， 即点是线段的中点． 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝