集合专题：集合中常见的五种参数问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

集合专题：集合中常见的五种参数问题 一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集;第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 题型一 根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________． 【答案】 【解析】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 【变式1-1】已知，则实数______． 【答案】，或 【解析】因为， （1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去； （2），解得或； （3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去； 综上可知，实数a的取值可以为或或. 【变式1-2】设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 【变式1-3】已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ） A．－2 B．2 C．4 D．2或4 【答案】A 【解析】依题意， 若，则，不满足集合元素的互异性，所以； 若，则或（舍去），此时，符合题意； 若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以. 综上所述，的值为.故选：A 题型二 根据元素个数求参数 【例2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，可得.故选：D 【变式2-1】若为单元素集，则实数a的取值的集合为______． 【答案】 【解析】由题意方程只有一解或两个相等的实根， (*)，，， 此时，方程的解为，满足题意，； 若方程(*)有一个根是，则另一根是，，； 若方程(*)有一个根是，则另一根是，，． 综上，的取值集合为． 【变式2-2】已知集合. （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时集合，当时集合；；（3） 【解析】（1）是空集，且， ，解得， 的取值范围为：； （2）①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所求，当时集合，当时集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得时中至少有一个元素，即 【变式2-3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）. 【解析】（1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A，∴ ∵-1∈A，∴ ∴中另外两个元素为，； （2），，，且，， ，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则． ∴x∈A，，， ，，， ∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1， ∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为， 且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1， ∴， ∵，∴2∈A，∴，∴∈A， 设m＝a，同理得∈A，∈A， ∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为， ∴、3、， 【变式2-4】已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），由，解得，满足题意，因此． 时，中至少有一个元素，，解得，． 综上可