第1、2节 GGB视角下的函数性质探究与指数函数的难点突破-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

第2节 指数函数的难点突破 高中数学教材在研究指数函数图象时，采用的是先特殊后一般的方法：先应用描点法研究函数和的图象．然后再从中抽象出的图象，并在图象的基础上研究指数函数的性质． 本节在传统教学中普遍存在两个难点：一，如何准确做出指数函数图象，并在此基础上研究函数性质；二，指数函数图象类型有几种，它们又各有什么几何特征，通过以下数学实验对它们进行突破． 【实验1】指数函数图象的生成 教材对于函数图象的研究过程，严格遵循了列表、描点、连线这一典型的研究思路． 分析教材编写意图，可以发现编者有意通过填表，让学生直观感受指数函数随着的增大，函数值也不断递增的趋势．教学中，为了说明这一点，不少老师会给取更多的值，如等，让学生直观体验，随着值增大，的函数值在急骤增长的趋势．但由此得到的图象仍然难以让人信服．函数图象永远单调递增吗？是否存在，当之后，函数图象单调递减呢？它的增长趋势怎么样？会不会比的增长速度快得多？以上这些问题，对于爱思考爱较真的学生而言还是很有思考价值的． 如何通过数学实验解决上述问题呢？笔者给出以下两种方案供参考： 【方案1】 【探究步骤】 1.在轴上取自由点，在指令栏输入“”，得到点，此时点与点横坐标相等； 2.跟踪点； 3.拉动点，可以观察到点随着点运动，点的运动轨迹就是函数的图象； 4.拉动点向左运动，引导学生观察点的运动情况，并注意代数栏中的点的纵坐标，可以发现点的纵坐标递减，并且趋近于0； 5.拉动点向右运动，引导学生观察点的运动情况，并注意代数栏中的点的纵坐标，可以发现点的纵坐标急骤递增，其增长速度比的增长速度快得多． 【方案2】 【探究步骤】 1．在指令栏内输入“缓慢绘制”，可以动态绘制的函数图象； 2.通过单击绘图区左下角的按钮，可以暂停（或启动）动态绘制函数的过程，也可通过拉动滑杆，观察函数图象的绘制情况，体验图象的生成过程，并感受函数图象的变化趋势． 通过以上方案进行指数函数的实验教学，函数图象不再是静态一成不变的，也不再是教材强加给学生的曲线．学生通过教师的演示和自己的动手实践，对的生成过程就有了较为深刻的认识，并且对图象的特点和变化趋势也将会有更加深入的理解． 【实验2】函数图象类型 教材对函数图象类型的归纳是在得到了 图象的基础上进行的． 因为缺少与数学实验的深度融合，教材把两种不同类型的图象直接“硬塞”给学生，虽然有了图象的研究基础，但这样的方式仍然显得生硬，也许有人还会产生这样的疑问：的函数图象难道真的只有这么两种吗？不可能存在其他情况了吗？ 下面是笔者给出的通过数学实验对本问题的解决方案． 【探究步骤】 1.设置参数，范围为； 2.在指令栏输入“”，作出函数的图象； 3.拉动滑杆，引导学生仔细观察指数函数图象的变化． 由此，不但可以很好地解答学生的疑问：图象确实只有两种不同类型，并且可以引导学生进一步观察随着值的变化，函数图象变化趋势的改变． 【说明】 不把范围设置为的原因是不能为０. 【实验3】指数函数性质综合探究 【探究问题1】 设，则下列关于大小关系判断有可能成立的是： （１）；（２）；（３）；（４）；（５） 【分析】 本题中，我们无法对所有的所对应的函数值进行逐一比对，但考虑到，不妨作一条与轴垂直的直线，分别与图象相交于点和点，设两点的横坐标分别，则有．由此，通过图象就可以直观观察出的大小了． 【探究步骤】 1.在指令栏内分别输入“”和“”，得到图象； 2.在指令栏内输入“”，设定参数的范围为，增量为； 3.分别作出直线与图象交点，并设之为； 4.分别作与轴垂直，并把垂足的名称分别改为； 5.拉动滑杆，观察各种情形下的大小关系． 经观察，可得第（２）（４）（５）是成立的． 【说明】 在GGB中，要把某个点的名称改为，应在属性菜单中把名称改为“”． 【实验4】指数函数性质综合探究2 已知，求实数的取值范围． 【分析】 因为在形式上十分相似，可以把它们分别视为函数当的两个函数值．因而可以借助图象的对称性和单调性来研究实数的取值范围． 【探究步骤】 1.在GGB中作出函数的图象，设定参数的取值范围为默认范围； 2.观察图象，可以大致得到图象关于直线对称； 3.对图象关于直线对称作进一步的研究．为研究方便，作出直线，在函数图象上任取一点，作出点关于直线的对称点，拉动点，观察：无论点怎么移动，点是否恒在函数图象上，若是，则说明图象确实关于直线对称； 4.作直线； 5.拉动滑杆，观察直线与函数交点的位置，从而判定当实数在什么范围取值时，不等式是成立的． 经实验探究，可得到当时，命题成立． 下面给出严格的数学求解： 首先证明函数图象关于直线对称． 在轴上任取和直线等距离的两点，则，而，故，即，从而证明了函数图象关于直线对称． 当时，，其图象是由图象左右平移而得的，当时，单调递增．又函数图