专题1.3 正方形的性质与判定（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.3 正方形的性质与判定 目录 正方形的基本性质问题 1 正方形的判定 3 求角度 5 一线三垂直模型 8 十字模型 12 对角互补模型 15 半角模型 20 存在性问题 24 多结论问题 27 证明题 33 正方形的基本性质问题 正方形的定义： 一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 以下说法不正确的是　　 A．菱形四条边相等 B．矩形对角线相等 C．正方形对角线互相垂直平分 D．平行四边形是轴对称图形 【解答】解：：菱形的四条边是相等的，故结论正确； ：矩形的对角线是相等的，故结论正确； ：正方形的对角线互相平分且垂直相等，故结论正确； ：平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故结论错误． 故选：． 下列说法正确的是　　 A．正方形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个内角都是直角 D．平行四边形是轴对称图形 【解答】解：．正方形的每一条对角线平分一组对角，故选项符合题意； ．矩形的对角线不一定互相垂直，故选项不符合题意； ．菱形的四个内角不一定都是直角，故选项不符合题意； ．平行四边形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．轴对称图形 D．对角线互相平分 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立， 而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形， 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：． 下列说法不正确的是　　 A．矩形的对角线相等且互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．正方形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 【解答】解：．矩形的对角线相等且互相平分，故正确，不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直平分，故正确，不符合题意； ．正方形的对角线相等且互相平分，故正确，不符合题意； ．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故不正确确，符合题意． 故选：． 正方形的判定 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是菱形，， 四边形是正方形， 故选：． 下列说法错误的是　　 A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【解答】解：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， 故正确，不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故正确，不符合题意； 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 故错误，符合题意； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形， 故正确，不符合题意； 故选：． 如图，矩形的对角线、相交于点，点、分别在、的延长线上，且，则四边形是　　 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 故选：． 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，下列四个判断中，正确的个数有　　 ①四边形是平行四边形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①，， 四边形是平行四边形． 故①正确． ②，四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 故②正确． ③， ， 平分， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 故③正确． ④如果，且不能判定四边形是正方形， 故④错误． 故选：． 求角度 如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：在正方形中，， ， ， ， 故选：． 如图，在正方形中，是边上一点，交对角线于点，连结．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形为正方形， ，，而，， ， ， 而， ， ． 故选：． 如图，在正方形中，对角线、相交于点．、分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：是正方形， ，． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 在和中， ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故选：． 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为　　 A