31 对角互补模型 分阶训练 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

31 对角互补模型 一阶 1.如图所示，在四边形中，，，若四边形的面积是，则的长是            ． 2.如图，中，，以为边向三角形外作等边，把绕着点按逆时针方向旋转到的位置，若，． (1)求的度数． (2)求的长． 3.如图①，平分，且，点、分别在，上． (1)如图②，若， ①求证：为等腰直角三角形． ②求四边形的面积． (2)如图③，若，探究当满足什么条件时，为等边三角形，并写出证明的过程． 4.如图，菱形中，点、在上，且，点为上的点，且． 求证：． 答案与解析 1. 解析: 过作，作，交的延长线于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（）， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴． 2.(1)． 解析: 由旋转的性质知，， 在四边形中， 故，、、三点共线 ∴为等边三角形， ∴， ∴． (2)． 解析: 由旋转的性质知． ∴． ∵为等边三角形， ∴． 3.(1)①证明见解析． 解析: 过点作于点，于点，连接， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②． 解析: ∵≌， ∴， ∴， ∵且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)证明见解析． 解析: 当时，是等边三角形， 由同理可得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 4.证明见解析． 解析: 延长到，使，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴． 又，， ∴≌， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴≌， ∴， ∴． 二阶 1.如图，四边形中，，，，垂足为，若线段，则四边形的面积是            ． 2.在四边形中，，，于，四边形的面积为，则的长为（     ） A. B. C. D. 3.如图，四边形中，，，若四边形的面积为，则长为            ． 4.如图，等腰中，，，点是的中点，点是线段上的一动点，，交于点． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 5.如图，在五边形中，，，，，，连接，，，则            ． 6.如图，在正方形中，点的坐标是，点，分别在边，上，，若，则点的纵坐标是（   ） A. B. C. D. 答案与解析 1. 解析: 过点作交的延长线于点，如图， ∵，，∴， 而， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴≌， ∴，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴． 故答案为：． 2.D 解析: 根据、可以将绕点逆时针方向旋转． 如图， ∵， ∴． ∴、、共线． 又∵、， ∴四边形为正方形，且面积为． ∴． 如图，作于点， ∵，∴， ∴， 在与中，， ∴≌，∴，． 设，．∵四边形的面积为， ∴， 化简得：，，，即：． 3. 解析: 延长至，使，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，，． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴． 故答案为：． 4.(1)证明见解析． 解析: 连接， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴≌，， ∴． (2)． 解析: ∵≌， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 5. 解析: 延长至点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌（）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 6.B 解析: 延长至点，使得，连接， 点的坐标是，且四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ≌（）， ∴， 设， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标是． 三阶 1.如图在四边形中，，，，以为顶点作一个度角，角的两边分别交、于、两点．连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 2.在中，，延长至点，使，点是直线—点，点是直线上一点，连接，连接,．如图，当，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段与线段的数量关系，并证明猜想的结论. 答案与解析 1.． 解析: 如图，把绕点逆时针旋转得到， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴点、、共线， 在和中， ， ∴≌（）， ∴， ∵， ∴． 2.． 解析: 理由：如图，连接、、作交的延长线于，在线段上截取一点，使得 ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵，= ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． （角平分线对角对角互补模型） 由 设，则 则 ∴. 11 学科网（北京）股份有限公司 $