31 对角互补模型 教案 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

31 对角互补模型 知识点一、对角互补模型的认知 知识讲解 旋转类问题的必杀技 什么时候用旋转？ ① 对角互补 ② 半角模型 ③ 三条线段共顶点 怎么用旋转？ ① 找到共顶点的等线段 ② 边怎么转，边所在三角形就怎么转 ① 在讲课过程中不断强调上述的做题方法，上面是解旋转类问题的通用步骤，不仅本讲可以用，遇到其他旋转问题，也可以优先考虑这类方法。 ② 对角互补或角含半角模型，是旋转中非常有代表性的问题，因为特征明显，结论也很有特点。本讲借助两个模型，讲解旋转问题的常用解题思路。  对角互补常见模型： 在四边形中，如果有一组对角相加为180度，且存在“共顶点，等线段”，可用对角互补。 由四边形内角和为知，所以要结合题干中已知或能推得的相等线段构造全等； 教师要引导学生动态的看待图形，由以及构造的三角形相当于将绕点旋转到边上，这时可以得到等腰以及“共线”的． 经典例题 1.如图，已知四边形中，，，，证明：． 小试牛刀 2.在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与，交于，两点．下列结论①，②，③四边形的面积，④始终为等腰直角三角形．其中正确的是（  ） A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 知识点二、对角互补模型的运用 经典例题 3.如图，在中，，，为的中点． (1)直接写出点到的三个顶点、、的距离的关系． (2)如果点、分别在线段、上移动，且在移动中保持，试判断的形状，并证明你的结论． (3)如果点、分别在线段、上移动，且在移动中保持，试判断四边形的面积是否发生变化，并证明你的结论． (4)如果点、分别在线段、的延长线上移动，且在移动中保持，试判断（）中结论是否依然成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 小试牛刀 4.如图所示，在等腰中，，，直线过点且与平行．点在直线上（不与点重合），作射线．将射线绕点顺时针旋转，与直线交于点． (1)如图，若点在的延长线上，请直接写出线段、之间的数量关系． (2)依题意补全图，并证明此时（1）中的结论仍然成立． (3)若，，请直接写出的长．   5.已知：如图，，是过点的直线，，于点． (1)在图中，过点作，与直线于点． ①依题意补全图形． ②求证：是等腰直角三角形． ③图中，线段、、满足的数量关系是            ． (2)当绕旋转到如图（）和图（）两个位置时，其它条件不变． 在图中，线段、、满足的数量关系是            ； 在图中，线段、、满足的数量关系是            ． (3)在绕点旋转过程中，当，时，则            ． 答案与解析 1.证明见解析． 解析: ∵，， ∴为等边三角形， 把绕点逆时针旋转，与重合，与重合， 连接、、，则为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 故、、三点共线， ∴． 延长至点，使， 连接， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 易得：≌， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， 即：． 2.D 解析: 连接， ∵，点为中点，， ∴．， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴始终为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴正确的有①②③④． 故选． 3.(1)． 解析: 如图，连接， ∵∠ BAC=90°，为斜边的中点， ∴． (2)等腰直角三角形． 解析: 如图，连接， ∵，为的中点，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (3)不变，证明见解析． 解析: 不变，证明如下： 由得，≌， ∴， ∴， 又∵， ∴． (4)成立，证明见解析． 解析: ∵，，为的中点， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 4.(1)． 解析: 过点作直线交的延长线于点，如图所示． ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵直线， ∴，， ∵直线， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，有， ∴≌（）， ∴． (2)． 解析: 过点直线的垂线，交于点，如图所示． ∵中，，， ∴． ∵直线， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，有， ∴≌（）， ∴． (3)的长为或． 解析: 分两种情况： ①当点在点的右侧时，过点作于点，如图所示． ∵≌， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在点的左侧时，过点作直线于点，过点作直线交的延长线与点，过点作于点，如图所示． ∵，， ∴， 在和中，有， ∴≌（）， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上可知：的长为或． 5.(1)①补全图见解析． 解析: ②证明见解析． 解析: ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵于点， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴≌， ∴． ③ 解析: 由②知≌ ∴，， ∵， ∴，