29 手拉手全等模型的运用与构造 分阶训练 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

29 手拉手全等模型的运用与构造 一阶 1.已知平面内两定点和之间的距离为，为一动点，且，连接并且以为斜边在的上方作等腰直角三角形，如图，连接，则的最大值与最小值的差为            ． 2.如图，四边形中，，，，则的长为            ． 3.如图，在中，，点是内一点，若，，连接，则的度数为（   ） A. B. C. D. 4.如图，点是等边三角形内一点，且，，，则为（   ） A. B. C. D. 5.阅读并解决问题： 下图中是等边三角形，是内一点，将绕点逆时针旋转可以得到，使原来的条件发生转移，这种利用“旋转”解决问题得方法在解题中有很多应用，你不妨尝试解决下列问题． 如图，为正方形内一点，若，，（为正数），则的度数为            ． 6.已知等边，，求证：，． 答案与解析 1. 解析: 如图，以为边作等腰，则有≌（手拉手模型） ∴，， 在中，，． 故， ∴， ∴． 故答案为：． 2. 解析: 将线段绕顺时针旋转至，连接，， 由等腰三角形旋转模型，得≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 3.B 解析: ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， 在和中， ∵， ∴≌（）， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 4.C 解析: 将绕点逆时针旋转，则点和重合，到，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5. 解析: 在下侧作，且使得， 则为等腰直角三角形，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 6.证明见解析． 解析: 在上取点，使，连， 又∵， ∴为等边三角形， ∴可证， ∴， ∴， 且． 二阶 1.如图，和均为等腰直角三角形，．连接，延长交于点，则的度数为            ． 2.如图，是等边三角形，中线，是中线上一动点，以为一边向下作等边，当点从运动到点时，则的最大值为            ． 3.如图，设和都是等边三角形，且，则的度数是（   ） A. B. C. D. 4.如图，和都是等边三角形，若，则的度数是（   ） A. B. C. D. 5. 在中，分别以，为边，向外作正五边形，、相交于点．            ． 6.以点为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)证明． (2)延长，交于点，求的度数． (3)若如图放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由． 答案与解析 1. 解析: ∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 2. 解析: 手拉手模型，≌， ∴， ∴的最大值就是的最大值， ∴的最大值为． 3.C 解析: ∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选． 4.D 解析: 易证≌，设， 则， ， ， ∴， 选． 5. 解析: 手拉手模型全等，先求的补角，补角就等于旋转角，即多边形的内角， ∴． 6.(1)证明见解析． 解析: ∵ 、是等腰直角三角形， ∴ ，，， ∵在和中， ， ∴ ≌， ∴ ． (2)． 解析: ∵ ≌， ∴ ， 而在中，， 又∵ ， ∴ ． (3)成立． 解析: 成立，且两线段所在直线互相垂直，即．理由如下： ∵ 、是等腰直角三角形， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， ∵在和中， ， ∴ ≌， ∴ ，， ． 三阶 1.在等腰中，，点是内一点，且，，以点为直角顶点，为直角边，作如图的等腰，有如下个结论：①点与的距离为；②；③；④，其中正确的结论是（  ） A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 2.如图，点为线段上一点，、是等边三角形，正确的是（   ） （）； （）； （）为等边三角形； （） A.（）（） B.（）（） C.（）（）（） D.（）（）（）（） 3.如图，已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、的延长线于、．下面结论一定成立的是            ．（填序号） ①；②；③；④． 4.在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是．其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D. 5.如图，在直角三角形中，，，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、．下列判断正确的有（   ） ①≌；②；③；④． A.个 B.个 C.个 D.个 6.如图，在的边、外作等边和等边，与相交于点，点、分别是和的中点，连接、、，下列结论中：（1）（2）（3）与全等．（4），正确的有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 答案与解析 1.A 解析: ①如图，连接， ∵， ∴， ∵和都是等