28 全等的基本构造方法 教案 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

28 全等的基本构造方法 在平面几何证明题中，添加辅助线是解题的关键，添加辅助线是沟通命题“条件”和“结论”的桥，辅助线的添置因题而异，变化万千，虽无一个通法可以遵循，但还是有一定的规律和常用的方法。只要我们知道添加辅助线其实就是为了“补图”和“转移条件”，辅助线添加的思路就清晰了。在不完整的图中构造出基本的几何图形（如三角形、平行四边形、圆、两个全等三角形、两个相似三角形等），利用它们的性质、定理创造出有利的条件，从而使题目得以证明。或者遇到不合理的条件，通过几何变换（平移、对称、旋转）转移部分条件，构造更熟悉的图形。当然，至于用哪种思路添加辅助线，就必须充分分析已知条件和所求证结论的关系了。 具体怎样添加辅助线，一般这由以下三方面决定： ⑴ 由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。 ⑵ 由所求决定：问什么，先要作什么。 ⑶ 由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。 前面的引入不需要详细讲解，建议老师在授课时仔细看一看，本讲属于对知识的抽象总结，需要通过不同的辅助线案例让学员理解为何做辅助线，怎么做辅助线。 知识点一、构造熟悉的几何图形 知识讲解 辅助线常见做法： 连接、延长、截取、过某一点作平行线、作垂线、作角相等。 注意： 中考在辅助线描述中禁止出现：平移、旋转、对称的词汇。 在几何题中辅助线主要是通过尺规作图补全图形，在进入下一步的证明。所以在辅助线描述中，平移对称旋转明显不是通过尺规作图“直接”做出的。但有一个例外，作角等是可以接受的（考察机率很低）。 如果当地老师允许用平移、对称、旋转作为描述依据，因中考各地差异较大，尊重当地的教法。  常见几何图形： 1、完整的几何图形 2、常见全等模型 举个例子：如图所示，已知，探索图形中与，的关系,�请你加以说明.     法一： 法二： 法三：  经典例题 1.已知：如图，，，求证：平分． 小试牛刀 2.如图，，，求证：． 知识点二、借助辅助线转移条件 知识讲解 虽然有些图形通过简单的连接、截取、延长就能补全图形，但有一些题目，给出了不合适的条件：如三条线段共顶点，直角中包含了45度的尖角等。 很多题目中的条件用起来十分的“棘手”，这时我们就需要借助平移、旋转、对称的思想，对题目中条件进行转移了。 所以借助几何变换，是转移条件的主要做法。 此处需做出适当的解释，我们利用了旋转平移对称的思想构造辅助线，那辅助线描述要怎么写？ 比如平移，我们可以通过做平行后证明平行四边形达到预期效果； 旋转，可以通过作边等或者角等，证明旋转全等后得出； 对称，可以通过作垂线后截取，构造出中垂线来得到。 经典例题 3.如图，中，，在上，在延长线上，若，求证：是的中点． 小试牛刀 4.如图，为等边内一点，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 知识点三、全等辅助线的构造基础 经典例题 5.如图，在中，，延长到，延长到，使，连、，若，求证：是等边三角形． 小试牛刀 6.如图，在中，，为上一点，在中，，．求证： (1)． (2)． 答案与解析 1.证明见解析． 解析: 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴≌（）， ∴， 即平分． 2.证明见解析． 解析: 连接， ∵ ∴和中， 和是直角三角形， 在和中， ∴≌ ∴． 3.证明见解析． 解析: 过点作交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴， ∴是的中点． 过点作交的延长线于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中，， ∴≌，∴， ∴是的中点． 分别过作的垂线，垂足分别为． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴是的中点． 4.C 解析: 连接， 在等边中，． ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 故选． 5.证明见解析． 解析: 延长至，使，连，则≌，． ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∴， ， ∴． ∴，故为等边三角形． 6.(1)证明见解析． 解析: 由三角形的外角性质，， ∵， ∴， ∴， 延长至，使， 则垂直平分， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． (2)证明见解析． 解析: 在和中，， ∴≌（）， ∴， ∵， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $