27 全等的基本构造方法 分阶训练 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

27 全等的基本构造方法 一阶 1.如图，在矩形中，是的中点，沿折叠后得到，延长交于点，连接，若，，则的周长为（   ） A. B. C. D. 2.在凸四边形中，，点、为边上的两点，且．那么与的大小关系为（   ） A. B. C. D.无数量关系 3.如图，已知长方形中，，点在边上且，点，分别是边，的动点（均不与顶点重合），四边形的周长最小值是            ． 4.如图，已知正方形的面积为，、为线段，上的动点，且满足，连结、、，则的最小值为            ． 5.如图，中，，点，分别是，上中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是            ． 6.如图，正方形中，，，与交于点．证明：． 答案与解析 1.C 解析: 过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， 在与中， ∴≌， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的周长， 故选：． 2.A 解析: 利用平移，如图， 将沿着的方向平移，使得和重合得到，故，， 可证得． 故选． 3. 解析: 如图所示， 作关于的对称点，点关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ∵，， ∴，． ∴． ∴四边形的周长最小值是． 4. 解析: 作，， 又∵， ∴≌， ∴， ∴． 求得， ∴最小值为． 5. 解析: 作关于对称轴，可知与重合， ∴， ∵，是中点， ∴． 6.证明见解析． 解析: 作关于对称点，连接、、， 根据对称性质：，， ， 故， 故， 故≌()， 故，， 所以为等边三角形， 所以， 故，， 所以， 所以， 所以． 联结，作于，可证明 ∴，从而． 二阶 1.如图，是等腰直角三角形，，为内一点，，，，则            ． 2.如图，在中，，，点为下方一点，且满足，，则四边形的面积为（  ） A. B. C. D. 3.如图，已知的三个内角的平分线交于点，点在的延长线上，且，若，则得度数为            ． 4.已知，，则五边形的面积为            ． 5.如图，在四边形中，，，，，则的长为            ． 6.如图，，，，则            ． 7.如图，、分别是、的中点，于，于，求证：． 答案与解析 1. 解析: 过作且， 连接，， ∵， ∴， ∵， ∴≌， ∴，， 在中，， ， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.B 解析: 延长，过点做于点， 在与中， ， ∴≌， ∴． 3. 解析: 如图在的延长线上取一点． ∵，， ∴ ， ∵是内心， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， 故答案为：． 4. 解析: 要求五边形的面积，可以将其分成个三角形的面积和， 题中有线段的和，考虑截长补短． 如图，延长至，使，连接，，， 结合，，由可以证得≌， 把转到， 由≌可得，， ，结合公共边， 由可以证得≌， 则五边形的面积可转化成倍的的面积． 5. 解析: 如右图所示，过点作垂直于且使得，首先可证： ≌，进而可在中进行研究，由于此时 不能确定是直角三角形，但此时可得，借助特殊角两边长可求，即． 6. 解析: 如图，连接，可证明≌，可得． 7.证明见解析． 解析: 连接， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴． 三阶 1.如图，已知等腰，，是中点，交于，交于，求证： (1)． (2)． 2.如图，中，，，，，垂足分别为、，与交于点． (1)写出图中所有的全等三角形                                                ． (2)线段与线段的数量关系是                      ． (3)问题探究：如图，中，，，平分，，垂足为，与交于点．求证：． (4)拓展延伸：如图，中，，，点在上，，，垂足为，与交于点．求证：． 要求：请你写出辅助线的作法，并在图中画出辅助线，不需要证明． 3.两个全等的直角三角形和按图方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． (1)求证：． (2)若将图中的绕点按顺时针方向旋转，且，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（）中的结论是否仍然成立． (3)若将图中的绕点按顺时针方向旋转，且，其它条件不变，如图．你认为（）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出、与之间的关系，并说明理由． 4.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称． (2)如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形． (3)在中，如果是不等于