27 角含半角模型 教案 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

27 角含半角模型 知识点一、半角在倍角内 知识讲解 模型的书写过程几乎是完全固定的，只要掌握了模型，可以“成块”的分析问题，节省思考的时间。 半角模型的核心是：构造了两次全等，一个旋转全等，一个对称全等，理由都是SAS。 结合不同的变化，得到了不同的结论。 核心模型1：  如图，正方形，点在边上，点在边上，．  【辅助线】延长至点，使，连接． 【结论】 ① 旋转全等：≌，理由． ② 对称全等：≌，理由． ③ ，进而推出的周长等于正方形周长的一半． ④ 平分，平分． 注意辅助线描述不能够写旋转，要么写延长，要么写截取。可以问问学员为什么这样做完辅助线，能够证明出全等。核心是：存在对角互补四边形，方便倒角。 半角模型核心就是做旋转，如果不知道辅助线应该怎么画，还是回忆旋转问题的解题通法： ① 先找共顶点的等线段； ② 边怎么转，边所在三角形就怎么转。 因为是半角模型，还会有自己特殊的结论： ③ 先证明一次旋转全等（SAS） ④ 再寻找对称全等（SAS） 也可以这样： 条件：①正方形；② 结论：① 经典例题 1.如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：． 小试牛刀 2.如图，在中，，，，且，，则的面积为            ． 知识点二、半角在倍角外 知识讲解 如图，正方形，，旋转与的延长线交于点，与的延长线交于点．  【辅助线】在截取，连接． 【结论】 ① 旋转全等：≌，理由． ② 对称全等：≌，理由． ③ ． ④ 平分． 半角在外模型本质与半角在内完全相同，只是倒角计算更加复杂。 仍然是一次旋转全等，一次对称全等的证明，核心就在半角的倒角上。 也可以这样： 条件：①正方形；② 结论：① 经典例题 3.如图，在四边形中，，，点分别在、的延长线上，若成立，请你探究线段、、又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 小试牛刀 4.如图，在四边形中，，，点、分别在四边形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点、、三点共线，易证≌            ，故、、之间的数量关系为            ． (2)类比引申 如图，在图的条件下，若点、由原来的位置分别变到四边形的边、延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． (3)联想拓展 如图，在中，，，点，均在边上，且，若，，则的长为            ． 知识点三、半角模型的运用 经典例题 5.如图，菱形中，点、在上，且，点为上的点，且． 求证：． 小试牛刀 6.在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接． (1)将射线绕点顺时针旋转，交直线于点． ①依题意补全图． ②小研通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系： 与的平方和等于的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， 要证，，的关系，只需证，，的关系． 想法：将沿翻折，得到，要证，，的关系，只需证，，的关系． 请你参考上面的想法，用等式表示线段，，的数量关系并证明．（一种方法即可） (2)如图，若将直线绕点顺时针旋转，交直线于点．小研完成作图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系． 答案与解析 1.证明见解析． 解析: 延长到，使，连结． ∵，， ∴≌（） ∴，． ∴． ∴． 又， ∴≌（） ∴． ∵． ∴． 2. 解析: 根据半角模型，可得， ，， 为等腰直角三角形， ，， 根据等高模型，， ． 3.；证明见解析． 解析: 在截取，连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴≌． ∴，． ∴．即． ∵， ∴． 即． 又∵，， ∴≌． ∴． ∵， ∴． 4.(1)， 解析: 将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∵， ∴，即点，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴． (2)、、之间的数量关系是，证明见解析. 解析: 将绕点逆时针旋转，使与重合，得到， 则≌， ∴，，，， ∵，， ∴，即、、三点共线， 又， ∴ ． ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵， ∴； (3) 解析: 将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， 由（）得，≌， ∴． ∵， ∴， 在中，，即． 5.证明见解析． 解析: 延长到，使，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴． 又，， ∴≌， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴≌， ∴， ∴． 6.(1)①答案见解析． 解析: 依题意补全图形，如图． ②答案见解析． 解析: 线段，，的数量关系为：． 证法一： 过点作于点且， 连接，，如图． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴≌． ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴