25 对称型全等的基础证明 分阶训练 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

25 对称型全等的基础证明 一阶 1.如图，中，是的中点，，，交于，，，则            ． 2.如图所示，和关于点中心对称，，，，点是上一动点，点是上一动点，（、不与端点重合），且，连接，，则的最小值是            ． 3.如图，在中，，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为            ． 4.如图，已知中，，，点在边上，把沿翻折使与重合，得，则与重叠部分的面积为（   ） A. B. C. D. 5.如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为            ． 6.如图，长方形中，，，．点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为            ． 7.已知：如图，是上一点，于，于，、分别是、上的点，且，． (1)求证：是的平分线． (2)若，且，，求的长． 答案与解析 1. 解析: 如图，连接，，过作，交的延长线于点， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 2. 解析: 最小值是；理由如下： 当时，的值最小，此时为的中点， ∵， ∴， 同理， ∴的最小值， 故答案为：． 3.或 解析: 在中，，，， ∴， ∵是以为折痕翻折得到的， ∴，，． 当为直角三角形， ①如图，当时， ∵， ∴点在线段上， 设，则， ∴， ∴， 即， 解得：，即． ②如图，当， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或． 4.A 解析: 过点作于点，过点作， ∵中，，， ∴，∴，∴， 由折叠的性质得：， ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ， ∴， ∴． 故选． 5.或 解析: 分类讨论． ①若，则是等腰直角三角形， 设，， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴． 6.或 解析: 如图， ∵折叠， ∴≌， ∴， ∵， ∴、、三点共线， 可证≌， ∴， ∵， ∴； 如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴． 综上所知，或． 故答案为或． 7.(1)证明见解析． 解析: ，， ，均为直角三角形， 在，中， ， ≌， ， ∴点在平分线上， 是的平分线． (2)． 解析: ， ， 在中，，， ， 又， ， 由（）知，， ． 二阶 1.如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 2.如图，在中，,，则图中成轴对称图形的三角形有            对． 3.如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，若，则等于（   ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，点是边上的一点，将沿直线翻折得到，交于点，如果，那么            ． 5.如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为            ． 6.如图，在中，，点是的中点，点在上． (1)求证：． (2)如图，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变．求证：≌． 7.已知：如图，，，且，．求证： (1)． (2)． 8.如图，在中，，与分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：． 答案与解析 1.C 解析: 沿向下翻折得到， ， ． 故答案为：． 2. 解析: ∵ ∴ ∵在与中 ∵　　 ∴≌（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等） ∴与为轴对称图形 ∵ ∴ ∴ ∵在与中 ∵　　 ∴≌（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等） ∴与为轴对称图形 综上所述，答案为对. 3.A 解析: ∵， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故等于． 4. 解析: ∵将沿直线翻折得到， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 5. 解析: ∵，关于对称，所以和全等， ∴，， 设，则． ∴， 在中，， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即：，解得． ∴的长为． 6.(1)证明见解析． 解析: ∵，是的中点， ∴，‍ 在和中， ， ∴≌， ∴． (2)证明见解析． 解析: ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． 7.(1)证明见解析． 解析: ∵，， ∴， 在与中， ， ∴≌（）， ∴． (2)证明简解析． 解析: ∵≌， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌（）， ∴． 8.证明见解析． 解析: 证明： ∴ ∵△和△为等边三角形 ∴ ∴ 在三角形和三角形中 ∴△≌△（） ∴ ∴（三线合一） 为中点 ∵ ∴． 三阶 1.如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直