21 正方形中的常用模型 分阶训练 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

21 正方形中的常用模型 一阶 1.如图，在中，点、分别是、的中点，将绕点旋转，得，连接、，添加下列条件后能判断四边形是正方形的是（  ） A. B. C.且 D.且 2.如图，在正方形中，为的中点，的延长线于点，连接、，交于点，连接、，下列结论：①≌；②；③；④其中正确的（   ） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：， .， .， .中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是            ． ①. ②.   ③.        ④. 4.如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（）；（）；（）；（）中正确的有（  ） A.个 B.个 C.个 D.个 5.如图，边长为的正方形中，是边上一动点（不含、点）将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，．则以下结论中正确的有            （写出所有正确结论的序号） ①； ②当为中点时，为线段的中垂线； ③四边形的面积最大值为； ④线段的最小值为； ⑤当≌时，． 6.如图，正方形的边长为，点、分别从点、点以相同速度同时出发，点从点向点运动，点从点向点运动，点运动到点时，、停止运动．连接，相交于点，连接，有下列结论：①，②点随着点、的运动而运动，且点的运动路径的长度为，③线段的最小值为，④当线段最小时，的面积．其中正确的命题有            ．（填序号） 答案与解析 1.C 解析: ∵，点，分别为、中点， ∴，． ∵．∴． ∵绕点旋转得． ∴≌． ∴．． ∴为平行四边形． ∵，，． ∴，． ∴为矩形． ∴时使为正方形． 当且，． 2.D 解析: ①∵， ， ∴， ∵， ， ∴， 又∵正方形中，， ∴和中， ， ∴≌， 故①正确． ②取中点，连接，， ∵≌， ∴，即，， 又∵， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 则与中， ， ∴≌， ∴， 故②正确． ③由②得， ， 又∵中，， 中，， ∴， 又∵， ∴， 由①得， 则和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴③和④都正确． 综上所述，①②③④均正确． 3.② 解析: ①∵四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， 当时，菱形是正方形，故错误； ②∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形， 当时，这是矩形的性质，无法得出四边形是正方形，故正确； ③∵四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， 当时，菱形是正方形，故错误； ④∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形， 当时，矩形是正方形，故错误． 故答案为：②． 4.B 解析: ∵四边形为正方形， ∴，， 而， ∴， 在和中 ， ∴≌， ∴，所以（）正确； ∴， 而， ∴， ∴， ∴，所以（）正确； 连结， ∵， ∴， 而， ∴，所以（）错误； ∵≌， ∴， ∴， ∴，所以（）正确． 5.①③⑤ 解析: 根据翻折，可得， ， ∴≌． ∴， ∴，即， 故①正确． 当时，由折叠得，． 设， 在中，，得，． ∴，故②错误． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴时，四边形面积最大值为，故③正确． 作于， ∵． ∴最小时最小， ∵．时，， ∴，故④错误． ∵≌时， ∴，在上取一点使． ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴，，故⑤正确． 6.①②③ 解析: ∵点、分别同时从、出发以相同的速度运动， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， 在和中， ， ∴≌（）， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确． ∵， ∴点的运动路径是以为直径的圆所在的圆弧的一部分， 由运动知，点运动到点时停止，同时点运动到点， ∴点的运动路径是以为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为， ∴长度为，故命题②正确． 如图，设的中点为点，连接， ∵点是以点为圆心为直径的圆弧上一点， ∴当点在上时，有最小值， 在中，，，根据勾股定理得，， ∴的最小值为，故③正确． 过点作的垂线与相交于点，与相交于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的高， ∴，故④错误． ∴正确的有①②③． 二阶 1.如图，以的斜边为一边在同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，求的长            ． 2.如图，正方形的对角线相交于点，的平分线交于点，交于点．若，则=            ． 3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，点、分别在边、上，为的中点，连接，则的长为            ． 4.如图，正方形的周长为，点是对角线上一点，则矩形的周长是            ． 5.已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形. (2)当满足什