21 正方形中的常用模型 教案 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

21 正方形中的常用模型 知识点一、正方形与等腰直角三角形相结合 知识讲解 已知:正方形ABCD,PQ⊥PB 求证: ① ② ③ ④ BC2+CQ2=2PQ2 ⑤ CQ+BC=PC ⑥ 模型核心在于△BPQ这个等腰直角三角形的证明,要记一个结论: 有等腰能证垂直,有垂直能证等腰 关键在于利用正方形的轴对称性,转移条件。 题目的突破口在于连接PD,然后利用对角互补四边形倒角。 推荐证法: (1)利用∠PBC与∠PQD都和∠PQC互补得到① (2)连接PD,利用对称全等得到PD=PB,再由∠PBC=∠PQD=∠PDQ得PQ=PD,②得证。 (3)∠BPC=135°-∠PBC,∠BQC=135°-∠PQD,结合①,③得证。 后续学了四点共圆,可以根据B、P、Q、C四点共圆,直接证得③ (4)根据等号左右两侧都等于BQ2,④得证 (5)邻边相等+对角互补是旋转的标志,可以把△PQC绕点P顺时针转,使PQ与PB重合,得到一个新的等腰直角三角形,⑤得证;同理,把△PBC绕点P逆时针转,使PB与PQ重合亦可。 (6)利用⑤的证法得证⑥ 后四项的结论可以用于练习和复习,如果时间充足的话,可以再讲一下如下的拓展: 当点P在AC的延长线上时,以上6条结论哪些不变? (1-4不变),哪些会变?(56的加号改为减号) 经典例题 1.如图,是正方形对角线上一点,点在上,且. (1)求证:. (2)连接,试判断的度数,并证明你的结论. 小试牛刀 2.如图,正方形中,是对角线,有较大的直角三角板,一边始终经过点,直角顶点在射线上移动,另一边交于. (1)如图,当点在边上时,猜想并写出与所满足的数量关系,并加以证明. (2)如图,当点落在的延长线上时,猜想并写出与满足的数量关系,请证明你的猜想. 知识点二、正方形旋转对称性的运用 知识讲解 已知如图:∠PCE=135°,∠APE=90°,求证:AP=PE。 辅助线:在AB上截取BF=BP,连接FP。 证法:构造中心对称图形 注意:因为没有边相等的条件,直接通过三垂直证不出来。 首先介绍一下模型的特征,题目中默认不给FP这条辅助线,具体题目如例一所示。题目很自然联想到“三垂直模型”,很多同学的第一反映是过E向BC做垂线,这条路目前无法证出结论(后续学习相似可证,但不建议)。 十分的像三垂直模型的特征,但又证不出来,这并不是我们之前所学模型不好使了,而是需要对模型有更深层的认识。 三垂直,也就是俗称的“赵爽弦图”,其本质是“中心对称旋转”。可以看题目中的图,AP转到PE是绕着AC连线的中点旋转的,即绕转正方形的对称中心。 有了这个性质,直角三角形对我们来说不是【必须存在】的,而中心对称的全等才是我们构造的重点。 这样来看,我们的思路可以放宽,不一定非要构造△ABP的全等形,可以反过来构造△PCE的全等形。 于是,就出现了截取等腰直的操作。 经典例题 3.如图,点为正方形的边(或)延长线上任意一点,且与外角的平分线交于点,此时与有何数量关系?并加以证明. 小试牛刀 4.回答下列问题: (1)如图,在平面直角坐标系中,四边形是正方形,且,点是线段延长线上一点,是线段上一动点(不包括点、),作,垂足为,且.设,请你利用基本活动经验直接写出点的坐标 (用含的代数式表示) (2)如果的条件去掉“且”,加上“交的平分线于点”,如图,求证:.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程. (3)如图,请你继续探索:连接交于点,连接,下列两个结论:①的长度不变.②平分,请你指出正确的结论,并给出证明. 知识点三、正方形模型综合运用 经典例题 5.在正方形中,点是边上一动点(不包含端点),线段的垂直平分线与,,,分别交于点,,,. (1)若,,求线段的长度. (2)求证:. 小试牛刀 6.已知为正方形外的一条射线,为点关于直线的对称点,连结.如图所示. (1)如果,求的度数的大小. (2)如图所示,为射线上一点,且. ①求证:. ②求证:. 答案与解析 1.(1)证明见解析. 解析: ∵四边形是正方形, ∴,. 又∵, ∴≌. ∴. 又∵, ∴. (2). 解析: 判断:. ∴. ∵≌, ∴. ∵,∴. ∴. 又∵, ∴. ∴. 又∵, ∴. 2.(1),证明见解析. 解析: 如图,过作,,垂足分别为、 ∴ ∴四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为正方形对角线 ∴, ∴平分 ∴ ∴四边形为正方形 ∴, ∴在与中,, ∴≌(), ∴. (2),证明见解析. 解析: 过作,,垂足分别为、, ∴, ∴四边形为矩形, ∴, ∵, ∴, ∴. ∵为正方形对角线, ∴,, ∴, ∴平分, ∴. 在与中,, ∴≌(), ∴. 3.;证明见解析. 解析: 猜测,延长至点,使,连结. ∵, ∴, ∴, 而, ∴≌, ∴. 4.(1) 解析: