2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学新教材同步题型+能力+素养练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 一维练基础 题型一：基本不等式证明不等关系 1．已知，求证. 【点拨】直接写出三个重要不等式相加即得证. 【详解】∵，① ，② ，③ ①+②+③得；. ∴(当且仅当等号成立). 2．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 【点拨】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论. 【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号）， 即. 3．证明： （1）； （2）. 【点拨】（1），利用基本不等式即可证明. （2），利用基本不等式即可证明. 【详解】（1）， 当且仅当时，即时，等号成立. （2）， 当且仅当时取等号，此时， 显然的值不存在，所以等号不成立， 所以. 题型二：利用基本不等式求积的最大值与和的最小值 1．已知正数满足 ，则的最大值（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】直接使用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数满足 ， 所以有，当且仅当时取等号， 故选：B 2．已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【点拨】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：D 3．的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【点拨】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，函数有最小值4. 故选：C. 4．已知，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为，， 所以 （当且仅当，即时取等号）， 即的最小值为4. 故选：D. 5．当时，的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【点拨】依据均值定理去求的最小值即可. 【详解】由（当且仅当时等号成立．） 可得当时，的最小值为 故选：D 题型三：基本不等式的恒成立问题 1．若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【点拨】根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值． 【详解】解：根据   ，当且仅当时，取等号， 化简可得， 因为，所以，， 所以运用， 可得，当且仅当，即时，取等号， 又因为恒成立， 所以， 即k的最大值是4． 故选：B． 2．已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值(       ) A． B． C． D．5 【答案】C 【点拨】恒成立﹒转化为用基本不等式计算2a＋b的最小值﹒ 【详解】由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值， 由a＞0，b＞0，1， 可得2a＋b＝(2a＋b)()＝3，当且仅当时取等号，∴m≤，∴m的最大值为， 故选：C． 3．若，且恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值后可得的范围． 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以．即的范围是． 故选：D． 4．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（       ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【点拨】由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值． 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ，当且仅当， 即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故选：． 5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】利用基本不等式先求出的最小值为，则. 【详解】当时，， ， 当且仅当，即时等号成立， . 故选：D. 题型三：基本不等式的应用 1．下列说法正确的为（       ） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8 【答案】C 【点拨】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确； 对于选项,，令， 即在上单调递增，则最小值为, 则不正确； 对于选项,，则正确； 对于选项,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则不正确. 故选：. 2．若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，都为正实数，， 所以， 当且仅当，即时，取最大值. 故选：D 3．欲用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长、宽分别为（       ） A．15 m，m B．15 m，m C．7 m，m D．7 m，m 【答