第18讲 椭圆-2023届新高考数学一轮复习讲义

第18讲 椭圆 一、知识导图 二、知识梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 提示：(1)椭圆定义的集合语言表示：设椭圆上任一点M到两焦点距离之和为常数2a,则点M所满足的集合为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a (2a > |F1F2|)}． (2)要注意椭圆定义中的限制条件：到两定点距离之和大于两定点的距离|F1F2|. (3)两种特殊情况：当2a＝|F1F2|时轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时无轨迹． 2.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心(0,0) 范围 x∈[－a,a],y∈[－b,b] x∈[－b,b],y∈[－a,a] 顶点 A1(－a,0),A2(a,0), B1(0,－b),B2(0,b) A1(0,－a),A2(0,a), B1(－b,0),B2(b,0) 轴长 短轴|B1B2|＝2b,长轴|A1A2|＝2a 焦点 F1＝(－c,0),F2(c,0) F1(0,－c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0＜e＜1) 3.椭圆的常用性质 (1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x＝0时,|OP|有最小值b,P点在短轴端点处；当x＝±a时．|OP|有最大值a,P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a为斜边,a2＝b2＋c2. (3)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a. (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为. (5)椭圆离心率e＝. (6)若P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2＝θ,则△F1PF2的面积为b2tan. (7)设M(x0,y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(－c,0),F2(c,0),则|MF1|＝a＋ex0,|MF2|＝a－ex0(其中e是离心率)．|MF1|max＝a＋c,|MF1|min＝a－c 三、高考真题 1.求值 1.（2022·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2022·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3.（2022·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 4.（2022·新高考Ⅱ卷T16） 已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________． 5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A． B． C． D． 8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D． 9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 11．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A． B． C． D． 13．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB