第07讲 一元二次方程根与系数的关系-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第7讲 一元二次方程根与系数的关系 ( 目标导航 ) 课程标准 1.了解一元二次方程的根与系数的关系能运用根与系数的关系，能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值； 2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中， 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个 的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个 的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程 实数根. 注意：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值； ④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根 ； （2）方程有两个相等的实数根 ； （3）方程没有实数根 . 注意： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 注意： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． ( 能力拓展 ) 考法01 一元二次方程根的判别式的应用 【典例1】关于x的一元二次方程的根的个数是(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【即学即练】下列方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（       ） A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 【即学即练】将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（       ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 考法02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 【典例3】已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（       ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2022 【即学即练】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【典例4】若、是一元二次方程的两根，则的值是（       ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【即学即练】若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（       ）． A．2 B． C．2022 D． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ） A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020 3．已知、是一元二次方程的