第三章 函数的概念与性质（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质专题详解 1、 函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：.其中：叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）. （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备) 考点一：定义域的求法 一．已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负. （3）对数中的真数部分大于0. （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等. ( 6 )中x 例1：求下列函数的定义域 （1）；（2）；（3）(). 解析：（1） 解得：或 所以函数的定义域为；故答案为：. （2） 解得：或 所以函数的定义域为；故答案为： . （3）(). 解得： 所以函数()的定义域为；故答案为：. 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况. （一）已知的定义域，求的定义域. 其解法是：已知的定义域是求的定义域是解，即为所求的定义域. 例2：已知的定义域为，求的定义域. 解：，，解得 即函数的定义域为 举一反三 已知函数f(x)的定义域是[-1，4]，求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】. 【详解】 已知f(x)的定义域是[-1，4]，即-1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4， ∴-2≤2x≤3，∴-1≤x≤.∴函数f(2x+1)的定义域是. （二）已知的定义域，求的定义域. 其解法是：已知的定义域是求的定义域的方法是：，求的值域，即所求的定义域. 例3：已知的定义域为，求的定义域. 解：，，. 即函数的定义域是. 举一反三 已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】 【详解】因为的定义域为， 所以，所以．令，则． 即中，．故的定义域为． （3） 复合函数定义域综合求解 例4：已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以，则， 所以，解得，所以的定义域为，故选：B 举一反三 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，即，所以， 所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：. 三、逆向思维型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围.特别是对于已知定义域为,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决. 例5：已知函数的定义域为求实数的取值范围. 解：讨论： ①当时，函数的定义域为； ②当时，是二次不等式，其对一切实数都成立的充要条件是 综上可知：. 举一反三 已知函数的定义域是，求实数的取值范围. 解：要使函数有意义，则必须恒成立， 因为的定义域为，即无实数解 讨论：①当时，恒成立，解得； ②当时，方程左边恒成立. 综上得：的取值范围是. 考点二：求函数值域 例1　已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得到在上单调递减， 因此只需，解得.故选：C. 二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围. 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终. 1.利