3.1.2 函数的单调性-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 知识梳理 1.增函数和减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： （1）如果对任意，当时，都有，则称y＝f(x)在I上是增函数，也称在I上单调递增. （2）如果对任意，当时，都有，则称y＝f(x)在I上是减函数，也称在I上单调递减． 2.图像特点： 增函数：自左向右图象是上升的 减函数：自左向右图象是下降的 3.函数单调性的判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）利用运算性质判断单调性 ①具有相反的单调性； ②若，则具有相反的单调性； ③若与具有相同的单调性，则与和都具有相同单调性。 （4）复合函数单调性的判断（同增异减） 常见考点 考点一 判断函数的单调性 典例1．若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数单调性的等价条件进行判断即可． 【详解】 解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：C. 变式1-1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有成立，则f(x)必定是（       ） A．先增后减的函数 B．先减后增的函数 C．在R上的增函数 D．在R上的减函数 【答案】C 【解析】 根据已知结合单调性定义，即可得出在为R上增函数. 【详解】 设，根据题意有， ， ， 即，所以f(x)是在R上的增函数 故选:C. 【点睛】 本题考查函数的单调性判断，属于基础题. 变式1-2．下列函数在上单调递减的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 逐个判断函数的单调性，即可得到结果． 【详解】 对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 变式1-3．下列函数中，在上是减函数的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由二次函数和反比例函数的单调性得在上单调递增，在单调递减， 在和上单调递减，在和单调递减，从而得出选项. 【详解】 因为在上单调递增，所以B选项错误； 因为在单调递减，所以C选项错误； 因为在和上单调递减，所以D选项错误； 因为在和单调递减，而，所以A选项正确； 故选A. 【点睛】 本题考查二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题. 考点二 根据函数图像求单调区间 典例2．如图是函数的图象，则函数的减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的，结合函数图象即可得解，需注意的是函数在两个区间上单调递减，不能写成并集的形式； 【详解】 解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，， 故选：D． 变式2-1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象直接确定单调递减区间即可. 【详解】 由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：B 变式2-2．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（       ） A．， B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数单调递减区间. 【详解】 观察函数的图象，可知函数的单调递减区间为. 故选：B 变式2-3．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单调函数的定义直接得到答案 【详解】 由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是 故选：C 【点睛】 本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题 考点三 根据函数解析式求单调区间 典例3．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 的对称轴为，开口向上， 所以在在单调递减，在单调递增， 故选：D 变式3-1．函数的单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质得解； 【详解】 解：因为定义域为，函数在和上单调递减， 故函数的单