3.1.1 函数及其表示方法-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 知识梳理 1．函数的概念 设集合是一个非空的数集，对中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合的一个函数，记作，其中叫做自变量，自变量取值的范围叫做函数的定义域。如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。定义域、值域、对应法则被称为函数的三要素. 2．同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 3.函数的表示方式 （1）解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． （3）图像法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 4．函数的图像 将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． 5.分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 常见考点 考点一 函数关系的判断 典例1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数中每一个自变量有且只有唯一函数值与之对应，结合函数图象判断符合函数定义的图象即可. 【详解】 由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应， A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义. 故选：C 变式1-1．下列各图中，可表示函数y=的图象的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的定义判断即可. 【详解】 根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，可看出只有选项D符合. 故选：D. 变式1-2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意. 【详解】 解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意； B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意； C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意； D是函数图象，值域为，故不符合题意. 故选：B 变式1-3．设集合，，那么如图5-1-1所示的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是（       ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可． 【详解】 对于①，由于M中部分元素在N中无元素与之对应，因而不是集合M到集合N的函数关系； 对于④，M中部分元素在N中都有两个不同的元素与之对应，因而不是集合M到集合N的函数关系； 对于②③，在集合M中任取一个元素，在集合N中都有唯一的元素与之对应，故②③是集合M到集合N的函数关系． 故选：C 考点二 具体函数的定义域 典例2．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】 由题意得：，解得：. 所以函数的定义域为：. 故选：C. 变式2-1．函数的定义域是（     ） A．[-3，+∞） B．（0，+∞） C．（-3，+∞） D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】 依题意且， 所以函数的定义域是. 故选：D 变式2-2．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数解析式，可知，解不等式，即可求出结果. 【详解】 要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为． 故选：C. 变式2-3．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解． 【详解】 由，解得且． 函数的定义域为． 故选：C． 考