第10讲 正多边形与圆-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 对称图形----圆 2.6 正多边形与圆 目标导航 课程标准 课标解读 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系 2.能够运用尺规作图画正多边形。 知识精讲 知识点01 正多边形的概念 1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【微点拨】 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件： （1）各边相等； （2）各角相等；缺一不可 2.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 3.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 4.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 【即学即练1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（　　） A．30° B．36° C．60° D．72° 知识点02 正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【即学即练2】正十边形的中心角是（     ） A．18° B．36° C．72° D．144° 知识点03 正多边形的画法 1.用量角器等分圆:由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆:对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图(以正四、八边形为例)。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 【微点拨】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【即学即练3】尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 能力拓展 考法01 正多边形 【典例1】如图，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形． 考法02 尺规作图：正多边形 【典例2】如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中的边上求作点，使； (2)在图2中的边上求作点，使． 分层提分 题组A 基础过关练 1．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（       ） A．正负术 B．方程术 C．割圆术 D．天元术 2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（       ） A．72° B．60° C．48° D．36° 3．下列说法正确的是（       ） A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形 4．如图，四边形ABCD是园内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=110°，则∠DCE的大小是（     ） A．70° B．105° C．110° D．120° 5．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°． 6．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形． 7．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________． 8．如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______． 9．如图，正方形和正六边形均内接于，连接；若线段恰好是的一个内接正边形的一条边，则_______． 10．如图，四边形的顶点都在上，