第9讲 直线与圆的位置关系-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 对称图形----圆 2.5 直线与圆的位置关系 目标导航 课程标准 课标解读 1.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 2.了解三角形的内心，能用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆作三角形的内切圆。 3.能用尺规作图∶过圆外一点作圆的切线 4.探索并证明切线长定理过圆外一点的两条切线长相等。 1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 知识精讲 知识点01 直线和圆的位置关系 1.直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线1的距离为d，那么 直线1与⊙O相交d<r； 直线1与⊙O相切d=r； 直线1与⊙O相离d>r。 【微点拨】 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 【即学即练1】如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 知识点02 切线的判断定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【微点拨】 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 【微点拨】 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【微点拨】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 【微点拨】 (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【即学即练2】如图，PA与相切于A点，，则（       ） A．20° B．35° C．70° D．140° 能力拓展 考法01 直线与圆的位置关系 【典例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y． (1)求y与x的函数关系式； (2)试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围． 考法02 切线的性质和判定的综合应用 【典例2】已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP． (1)如图①，△OPC的最大面积是________； (2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线． 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列命题正确的是（　　） A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．过任意三点可以画一个圆 D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形 2．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（       ） A．20° B．35° C．70° D．110° 3．已知圆与