2.3.2 圆的一般方程-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第二章 平面解析几何 2.3圆及其方程 2.3.2圆的一般方程 知识梳理 1.圆的一般方程 一般地，圆的标准方程+可以化为+ 这个方程中，如果令D=E=F=，则这个方程可以表示成：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D，E，F为常数)，称为圆的一般方程. 2.x2+y2+Dx+Ey+F=0程及其图像 一般地，x2+y2+Dx+Ey+F=0 常见考点 考点一 圆的一般方程与标准方程之间的互化 典例1．圆的一般方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 将圆的标准方程展开可得圆的一般方程. 【详解】 将圆展开整理可得圆的一般方程是． 故选：D. 【点睛】 本题考查将圆的标准方程化为一般方程，属于基础题. 变式1-1．圆的圆心和半径分别是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】 【分析】 先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】 先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 变式1-2．已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 将已知方程转化为标准方程即可得圆心坐标和半径． 【详解】 由题，所以， 所以圆心坐标为，半径为， 故选：B． 变式1-3．圆的圆心和半径分别为 A．圆心，半径为2 B．圆心，半径为2 C．圆心，半径为4 D．圆心，半径为4 【答案】B 【解析】 【分析】 将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径． 【详解】 将配方得 所以圆心为，半径为2 所以选B 【点睛】 本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题． 考点二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 典例2．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】 由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 变式2-1．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】 由，得，则. 故选：A 变式2-2．若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由圆的一般式所满足的条件，得到不等式，解之即可. 【详解】 由题意得：，即， 故选：C. 变式2-3．若方程表示圆，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案. 【详解】 因为方程表示圆，所以，解得. 故选：B. 考点三 求圆的一般方程 典例3．已知，则的外接圆的一般方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程. 【详解】 设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. 变式3-1．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出线段的垂直平分线的方程，与直线联立，即可求出圆心，再求出半径即可得出圆的方程. 【详解】 线段的中点坐标为，直线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即. 由，解得. 所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为，即. 故选：C. 变式3-2．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程. 【详解】 设圆的方程为， 因为圆心在x轴上，所以，即． 又圆经过点和， 所以即解得 故所求圆的一般方程为． 故选：D 【点睛】 本题考查了待定系数法求圆标准方程，属于基础题. 变式3-3．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 先求出线段的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程. 【详解】 因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平 分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆 的半径，所以，圆的方程为， 即. 故选：C. 【点睛】 本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题. 考点四 根据圆的一般方程处理参数问题 典例4．已知