2.3.1 圆的标准方程-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第二章 平面解析几何 2.3圆及其方程 2.3.1圆的标准方程 知识梳理 1.圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r，即=r，两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2，通常称为圆的标准方程. 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与☉C：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 常见考点 考点一 由标准方程确定圆心和半径 典例1．已知，则圆心坐标和半径分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆的标准方程的特征，即可求得圆心和半径． 【详解】 根据圆的方程为，可得圆心坐标为，半径等于2. 故选：B. 变式1-1．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出圆心，根据与直线垂直求出斜率，用点斜式求出直线的方程. 【详解】 圆的圆心为，直线与直线垂直，因为直线的斜率为1，所以， 所以直线的方程是：，即 故选：D 变式1-2．若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】 由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 变式1-3．方程表示的曲线是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 整理得，再根据圆的方程即可得答案. 【详解】 解：对两边平方整理得， 所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足. 故选：A 考点二 由圆心和半径求圆的标准方程 典例2．圆心，半径为的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程. 【详解】 因为圆心为，半径为， 所以圆的方程为:. 故选：D. 变式2-1．圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设圆心坐标为 ，则有，求得，即可得解. 【详解】 解：设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得， 故圆的方程为. 故选：A. 变式2-2．已知圆与圆关于x轴对称，则的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 求出圆心关于x轴的对称点后可得所求圆的方程. 【详解】 圆的圆心（1，2）关于x轴对称的点（1，-2）, 故圆的方程为：. 故选：A． 变式2-3．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知点和关于直线对称，所以先求出圆心，然后利用对称关系可求出的坐标，从而可求出圆的方程 【详解】 圆的圆心，半径为1， 设，则由题意得 ，解得即， 所以圆的方程为， 故选：A 考点三 求过已知圆上三点的标准方程 典例3．已知点，，，则外接圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 将A,B,C三点画在坐标系中，根据三角形外接圆圆心到各顶点距离相等，可得外接圆的圆心，进而求解. 【详解】 如图所示，易得外接圆的圆心为M(-3,0), ∴半径=5, ∴圆的方程为： 故选:B. 变式3-1．经过三点的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设圆的标准方程：，将点代入即可求解. 【详解】 设圆， 则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 变式3-2．若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出线段的中点的坐标即得解. 【详解】 解：由题得是直角三角形，且. 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得. 故选：C 变式3-3．过点，，的圆的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设圆的方程为，由条件求出，然后可得答案. 【详解】 设圆的方程为 因为过点，，，所以， 解得， 所以圆的方程为，即 所以圆的半径为5，面积为 故选：B 考点四 点与圆的位置关系 典例4．已知圆的标准方程是，则点（       ）