第一章 空间向量与立体几何（单元提升卷）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何（单元提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（       ） A．7 B． C．23 D．11 【答案】B 【分析】由向量数量积运算性质直接求解即可 【详解】解：因为为空间的一个标准正交基底， 所以， 所以 ． 故选：B. 【点睛】此题考查空间向量的数量积运算，属于基础题 2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点，，关于轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标． 【详解】解：在空间直角坐标系中， 点，，关于轴的对称点的坐标为：，，， 点关于轴的对称点的坐标为：． 故选：． 3．已知，，且，则（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求出和的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得，的值. 【详解】因为，，所以， ， 因为，所以，解得：，， 故选：B. 4．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先建立空间直角坐标系并标记点坐标，，，，再求出直线的方向向量，，最后求异面直线和所成角的余弦值. 【详解】解：因为，，所以三角形是等边三角形，取的中点，以点为原点，建立空间直角坐标系如图： 设，则，，，， 所以，，，，， 所以异面直线和所成角的余弦值为， 故选：C. 【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角的余弦值，是基础题. 5．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的的距离为（       ） A． B．2 C．6 D． 【答案】B 【分析】求出在的投影 即可. 【详解】由题可知点到平面的的距离即为在的投影， ，， ，， 在的投影为． 故选：B. 【点睛】本题考查向量法求点面距离，属于基础题. 6．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （       ） A． B．2:6 C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解. 【详解】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 7．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出点 坐标，再利用两点间距离公式得解. 【详解】因为点关于x轴的对称点的坐标为N，所有点 故选：A 【点睛】本题考查空间中点的对称关系及两点间的距离，属于基础题. 8．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离． 【详解】解：设平面的法向量为，，，则， ，令可得，，即，2，， ， 设与平面所成角为，则， 于是到平面的距离为，即四棱锥的高为． 故选：． 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（       ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】ABC 【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确. 【详解】由题意，向量， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，所以，所以B正确； 对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确； 对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确. 故选：ABC 10．在正方体中，若棱长为，点分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是（       ） A．面 B．面面 C．点F到面的距离为定值 D．直线与面所成角的正弦值为定值 【答案】ABC 【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 由题意知：，，，，，，，， 设，，即，， 设，，即，.